Potentiel effectif
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
Dans un champ central, le moment cinétique d'un point matériel se conserve :
\(\vec{r}\wedge m\vec{v}=\vec{L}\)
Utilisez cette propriété pour montrer que l'énergie mécanique du point matériel s'exprime comme une fonction de \(r\) et \(\dot{r}\) seulement.
On choisit d'orienter l'axe \(O_z\) parallèlement à \(\vec{L}\): le plan de la trajectoire contient les axes \(O_x\) et \(O_y\). L'axe \(OM\) est lié à un repère tournant autour de \(Oz\).
Montrez que dans ce repère, on peut considérer que le point matériel est soumis à l'action d'un potentiel central \(U_{eff}\) qu'on appelle "potentiel effectif".
Exprimez ce potentiel effectif en fonction du potentiel \(U\) dont dérive le champ central.
Quelle est la force qui dérive du potentiel effectif et qui, du point de vue d'un observateur lié à \(OM\), est responsable du mouvement du point matériel sur cet axe ?
Le schéma correspond à un cas particulier de trajectoire.
Solution
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
(1 point)
Dans le cas d'un champ central, \(\vec{L}\) est conservé et on a
\(\displaystyle{E=\left(\frac{mi^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}\right)+U(r)}\)
où l'énergie cinétique est la somme d'un terme associé au déplacement le long de l'axe \(OM\) et d'un terme associé au mouvement de rotation de \(OM\) par rapport à \(xOy\).
(2 points)
On peut réécrire \(E\) en regroupant les termes différemment
\(E=\frac{m\dot{r}^2}{2}+\left(\frac{L^2}{2mr^2}+U(r)\right)=\frac{m\dot{r}^2}{2}+U_{eff}(R)\)
l'effet du mouvement d'entraînement de rotation étant maintenant inclus dans \(U_{eff}\).
(1 point)
Formellement, c'est ainsi qu'un observateur lié à \(OM\) écrirait la conservation de l'énergie mécanique. Il en déduirait que la force agissant sur le point matériel est \(\displaystyle{F=\frac{-dU_{eff}}{dr}=\frac{dU}{dr}-\left(\frac{L^2}{2m}\right)\left[\frac{d(r^{-2})}{dr}\right]=f_c+\frac{L^2}{mr^3}}\)
(2 points)
c'est à dire la force centrale "réelle", dérivant de \(U\), augmentée de
\(\displaystyle{\frac{(mr^2\Omega)^2}{mr^3}=mr\Omega^2}\)
qui est la force "fictive" centrifuge.
(2 points)