Vitesse de libération
Durée : 7 mn
Note maximale : 7
Question
On veut soustraire un engin spatial de masse \(m\) à l'action de la gravitation terrestre (ce n'est pas une fusée mais plutôt l'obus de Jules Verne).
Quelle vitesse minimale doit-on lui communiquer au niveau du sol pour y parvenir ?
Donnez une valeur numérique approchée de cette vitesse de libération.
(Supposez que la Terre est un référentiel galiléen)
Solution
L'énergie mécanique de l'engin dans le champ de gravitation terrestre est conservée :
\(\displaystyle{E=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}}\)
(1 point)
Entre le sol, \(r=R\), et un point à l'infini,\(r\to\infty\), on peut donc écrire
\(\displaystyle{\frac{m{v_R}^2}{2}-\frac{GMm}{R}=\frac{m{v_\infty}^2}{2}}\)
(1 point)
et \(\displaystyle{v_R=\sqrt{\left({v_\infty}^2+\frac{2GM}{R}\right)}\ge\sqrt{\frac{2GM}{R}}=V_1}\)
(2 points)
Animé de cette vitesse au niveau du sol, l'engin est libéré quelle que soit la direction du tir puisque seule sa valeur absolue intervient.
(1 point)
On sait qu'au niveau du sol \(\displaystyle{\frac{GMm}{R^2}=mg}\) (la pesanteur est la manifestation de la gravitation), on en déduit que \(V_1=\sqrt{2gR}\approx\sqrt{2.10^6\times4.10^6}\)
soit à peu près \(\mathrm{11,2}.10^3\mathrm{ ms}^{-1}\) .
(2 points)