Champs de forces [Synthèse]

Champs de forces

Partie

Question

Calcul de circulation (en cartésien)

Soit le champ $\displaystyle{\overrightarrow F=-\frac{y}{x+y}\overrightarrow i+\frac{x}{x+y}\overrightarrow j}$

, dans le plan xOy.

Calculer la circulation de $\overrightarrow F$ lorsqu'on va de $A(1,0) \textrm{ en }B(0,1)$ :

1 - en suivant le contour en ligne brisée $AOB$ .

2 - en suivant la droite $AB$ .

Que pouvez-vous en conclure ?

Solution détaillée

Nous avons à calculer

$\displaystyle{C=\int_{\textrm{Contour}}\frac{x\textrm dy-y\textrm dx}{x+y}}$

1/ L' additivité de l'intégrale de chemin donne :

$\displaystyle{C=\int_{AOB}=\int_{AO}+\int_{OB}}$

Dans la première de ces deux intégrales $y = 0 \textrm{ et }\textrm dy = 0$ , elle est donc nulle. La seconde est nulle aussi puisque dans ce cas $x = 0 \textrm{ et }\textrm dx = 0$ . Le long de ce trajet la circulation $C$ est nulle.

2/ Suivant $AB : y + x = 1$ . Prenons $x$ comme paramètre, alors :

$\displaystyle{C=\int_1^0\frac{xd(1-x)-(1-x)dx}{x+(1-x)}=\int_1^0-dx=-[x]_1^0=+1}$

On constate que la circulation dépend du chemin suivi.