Synthèse

• Le mouvement "relatif" est celui par rapport au référentiel [$R$] lié à la tige. On l'exprime dans le repère cylindrique $(O,\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\theta,\overrightarrow k )$ car $\rho$ est $> 0$.

• Le mouvement "absolu" est celui par rapport au référentiel [$Ra$] lié au laboratoire. On l'exprime dans la base cartésienne $(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k)$ .

• La tige tourne autour de l'axe vertical $OZ$, à vitesse angulaire variable. Son vecteur rotation instantanée est noté $\displaystyle{\overrightarrow\Omega=\theta'\overrightarrow k}$ .

  Le mouvement de la masse selon s'écrit :

  $\rho = \rho_0 ( 2 + \cos \omega_0t )$

  Le principe fondamental s'écrit sous sa forme vectorielle avec le poids $\overrightarrow P$ , la réaction $\overrightarrow R$ qui s'exerce sur la masse, et la force$\overrightarrow F$ qui produit le mouvement sinusoïdal sur la tige.

  $\displaystyle{m\overrightarrow\gamma_a=\overrightarrow P+\overrightarrow R+\overrightarrow F\quad(1)}$

  $\displaystyle{\overrightarrow R=R_1\overrightarrow u_\rho+R_2\overrightarrow u_\theta+R_3\overrightarrow k}$

  où $R_1, R_2 \textrm{ et }R_3$ sont à déterminer.

  Or, la force $\overrightarrow F$ est centrale : sa direction est colinéaire à $\overrightarrow u_\rho$ . Par conséquent, on sait que le moment cinétique est une constante du mouvement. La décomposition de (1) dans la base "relative" $(O,\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\theta,\overrightarrow k)$ conduit aux équations

  $\displaystyle{R_3-mg=m\frac{\textrm d^2z}{\textrm dt^2}=0\quad(2)}$

  car le mouvement est plan.

  $\displaystyle{R_1+F=m(\frac{\textrm d^2\rho}{\textrm dt^2}-\rho\Omega^2)\quad(3)}$

  $\displaystyle{R_2=m.(2\frac{\textrm d\rho}{\textrm dt}\Omega+\rho\frac{\textrm d\Omega}{\textrm dt})\quad(4)}$

La condition d'absence de frottement entre la tige et le point M impose que le travail de la réaction au cours du déplacement relatif (M sur tige) soit identiquement nul :

$\displaystyle{\overrightarrow R\cdot\overrightarrow{\textrm dM}=0\iff R_1=0}$

d'où la nouvelle expression de (3) qui permet d'exprimer la force :

$\displaystyle{F=m.(\frac{\textrm d^2\rho}{\textrm dt^2}-\rho\Omega^2)\quad(3')}$

La tige est en rotation libre, donc il ne s'exerce sur elle aucun couple et la composante de la réaction selon est nulle :

$R_2 = 0$. Alors, la nouvelle forme de la relation (4) exprime la loi des aires :

$\displaystyle{\frac{\textrm d}{\textrm dt}(\rho^2\Omega)=0\iff\Omega(t)=\frac{C}{\rho^2}\quad(4')}$

Le mouvement de la masse selon permet d'exprimer $\displaystyle{\rho_0\cos\omega_0t=\rho-2\rho_0}$

La relation (3') permet ainsi d'obtenir l'expression de la force :

$\displaystyle{F(t)=m[-\omega_0^2\rho_0\cos\omega_0t-\frac{C^2}{\rho^3}]}$

En utilisant$\displaystyle{\overrightarrow F=-\overrightarrow{\textrm{grad}}U}$ , et sachant que la force $\overrightarrow F$ exercée sur m est de la forme $F_{\overrightarrow u_\rho}$ , on détermine le potentiel $U$ (à une constante près) :

$\displaystyle{U=m[\frac{\omega_0^2\rho^2}{2}-2\omega_0\rho_0\rho-\frac{C^2}{2\rho^2}]}$

L'énergie cinétique de m s'exprime :

$\displaystyle{T=(\frac{m}{2})(V_r^2+V_e^2)=(\frac{m}{2})[(\frac{\textrm d\rho}{\textrm dt})^2+\rho^2\Omega^2]}$

En utilisant la relation des aires :$\displaystyle{\Omega(t)=\frac{C}{\rho^2}(t)}$

, on obtient :

$\displaystyle{T=(\frac{m}{2}).(\frac{(\frac{\textrm d\rho}{\textrm dt})^2+C^2}{2\rho^2})}$

La variation $\textrm dT$ d'énergie cinétique est égale au travail élémentaire de la force $\overrightarrow F$ sur un déplacement , soit :

$\displaystyle{\textrm d\overrightarrow T=\overrightarrow F.\textrm d\overrightarrow{M}=-\overrightarrow{\textrm{grad}}U.\textrm d\overrightarrow{M}}$

Par définition : $\displaystyle{\overrightarrow{\textrm{grad}}U.\textrm d\overrightarrow M=\textrm dU}$

. La variation d'énergie cinétique est donc : $\textrm dT = - \textrm dU \textrm{ d'où }\textrm dT + \textrm dU = \textrm d (T+U) = \textrm dE = 0$

L'énergie totale $E=T + U$ est donc constante.

Ce système présente l'énergie et le moment cinétique comme une constante du mouvement. Les trajectoires ne constituent pas des formes mathématiques simples.