Problèmes de Synthèse [Synthèse]

Problèmes de Synthèse

Partie

Question

Le champ d'accélération d'entraînement de la Terre

On considère un référentiel orthonormé direct $\displaystyle{\mathcal G :(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k)}$ dont le centre se confond avec le centre de la Terre, supposée sphérique de rayon $R$ , et dont les axes sont dirigés vers des étoiles fixes. L'axe $O_z$ est confondu avec l'axe des pôles (axe de rotation) et son sens est $\textrm{Sud} \to \textrm{Nord}$ . Soit $M$ un point de la surface terrestre. Le plan $(OZ, OM)$ coupe le plan $XOY$ selon l'axe $O_u$ . Le référentiel $\mathcal R :(O,\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\Phi,\overrightarrow k)$ est lié à la Terre et tourne avec elle.

Quelle est l'expression vectorielle de l'accélération d'entraînement $\overrightarrow\gamma_e(M)$ à laquelle est soumis le point $M$ au cours de la rotation terrestre.
Quelle est l' expression de $\overrightarrow\gamma_e(M)$ dans la base $(\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\Phi,\overrightarrow k)$ ?
En quels points du globe est-elle maximale ?
En quels points du globe est-elle nulle ?
L'accélération $\overrightarrow\gamma_e(M)$ est-elle un champ de vecteurs ? Si non, pourquoi.
Si oui, quelle est la symétrie de ce champ ?
Existe-t-il des plans dans lesquels sa norme est constante ?
Dessiner le champ de vecteurs pour des points qui appartiennent à différents parallèles en visualisant les variations des vecteurs.
Calculer le potentiel scalaire $T(\rho)$ dont dérive ce champ de vecteurs.sachant que $T(0) = 0$ .
Que représente ce potentiel scalaire en tant que grandeur physique ?

Aide simple

- exprimer la forme la plus générale de l'accélération d'entrainement d'un référentiel $R$ animé d'un mouvement de rotation par rapport à un autre référentiel $G$
- exprimer ensuite cette accélération dans le cas de l'énoncé : pas de translation + rotation uniforme
Un champ cylindrique est porté par le vecteur polaire et sa norme ne dépend que de la distance à l'axe.
- Se placer en coordonnées cylindriques pour calculer le gradient.
- La dérivée partielle par rapport à une variable se confond avec la dérivée totale lorsqu'il n'y a qu'une variable.

Solution détaillée

La forme la plus générale de $\overrightarrow\gamma_e(M)$ s'écrit :

$\displaystyle{\overrightarrow\gamma(O)+\overrightarrow\Omega\wedge(\Omega\wedge\overrightarrow{OM})+\frac{\textrm d\overrightarrow\Omega}{\textrm{dt}}\wedge\overrightarrow{OM}}$

Dans le cas particulier de la rotation uniforme $\displaystyle{(\frac{\textrm d\overrightarrow\Omega}{\textrm{dt}}=\overrightarrow0)}$ autour d'un axe (sans mouvement de translation :

$\displaystyle{\overrightarrow\gamma(O)=\overrightarrow0 :\overrightarrow\gamma_e(M)=\overrightarrow\Omega\wedge(\overrightarrow\Omega\wedge\overrightarrow{OM})}$

Dans la base $(\displaystyle{\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\Phi,\overrightarrow k})$ :

$\displaystyle{\overrightarrow{OM}=\rho\overrightarrow u_\rho+z\overrightarrow k\textrm{ et }\overrightarrow\Omega=\Omega\overrightarrow k}$

d'où

$\displaystyle{\overrightarrow\Omega\wedge\overrightarrow{OM}=\Omega_\rho\overrightarrow u_\rho\wedge\overrightarrow k=\Omega R\sin\Phi\overrightarrow u_\Phi}$

où $\theta$ est la colatitude $(\overrightarrow k,\overrightarrow u_\rho)$ , coordonnée utilisée en coordonnées sphériques.

$\displaystyle{\overrightarrow\gamma_e(M)=-\Omega^2R\sin\Phi\overrightarrow u_\rho}$

A l'Equateur $\displaystyle{\overrightarrow\gamma_e(M)=-\Omega^2R}$ est maximum ; aux pôles $\displaystyle{\overrightarrow\gamma_e(M)=\overrightarrow0}$ .

2) Pour un point

$\displaystyle{M\in\textrm{ Surface de la Terre : M}\to\overrightarrow\gamma_e(M)=-\Omega^2R\sin\Phi\overrightarrow u_\rho=-\Omega^2\rho\overrightarrow u_\rho}$

C'est la définition d'un champ de vecteurs de la forme $\displaystyle{f(\rho)\overrightarrow u_\rho}$ . La symétrie du champ est axiale : l'axe des pôles étant l'axe de symétrie. Le champ à la surface de la Terre provenant de l'accélération d'entraînement est un champ axial (selon $\overrightarrow u_\rho$ ) et il ne dépend que de la distance à l'axe, donc cylindrique.

3) Le potentiel scalaire $T(\rho)$ est tel que :

$\displaystyle{\overrightarrow{\gamma_e}(M)=-\Omega^2\rho\overrightarrow u_\rho}$

doit être son gradient. On doit donc avoir :

$\displaystyle{-\Omega^2\rho\overrightarrow u_\rho=-\overrightarrow{\textrm{gradM}}T=-\frac{\delta T}{\delta\rho}\overrightarrow u_\rho=-\frac{\textrm dT}{\textrm d\rho}\overrightarrow u_\rho}$

car l'accélération ne dépend que de $\rho$ . L'expression du potentiel scalaire est telle que :

T(r) a la dimension du carré d'une vitesse et correspond à une énergie cinétique de rotation pour une masse unité placée en M.