Problèmes de Synthèse

Partie

Question

Le champ d'accélération d'entraînement de la Terre

On considère un référentiel orthonormé direct \(\displaystyle{\mathcal G :(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k)}\) dont le centre se confond avec le centre de la Terre, supposée sphérique de rayon \(R\), et dont les axes sont dirigés vers des étoiles fixes. L'axe \(O_z\) est confondu avec l'axe des pôles (axe de rotation) et son sens est \(\textrm{Sud} \to \textrm{Nord}\). Soit \(M\) un point de la surface terrestre. Le plan \((OZ, OM)\) coupe le plan \(XOY\) selon l'axe \(O_u\). Le référentiel \(\mathcal R :(O,\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\Phi,\overrightarrow k)\)est lié à la Terre et tourne avec elle.

  1. Quelle est l'expression vectorielle de l'accélération d'entraînement \(\overrightarrow\gamma_e(M)\)  à laquelle est soumis le point \(M\) au cours de la rotation terrestre.

    Quelle est l' expression de \(\overrightarrow\gamma_e(M)\) dans la base \((\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\Phi,\overrightarrow k)\) ?

    En quels points du globe est-elle maximale ?

    En quels points du globe est-elle nulle ?

  2. L'accélération \(\overrightarrow\gamma_e(M)\) est-elle un champ de vecteurs ? Si non, pourquoi.

    Si oui, quelle est la symétrie de ce champ ?

    Existe-t-il des plans dans lesquels sa norme est constante ?

    Dessiner le champ de vecteurs pour des points qui appartiennent à différents parallèles en visualisant les variations des vecteurs.

  3. Calculer le potentiel scalaire \(T(\rho)\) dont dérive ce champ de vecteurs.sachant que \(T(0) = 0\).

    Que représente ce potentiel scalaire en tant que grandeur physique ?

Aide simple

    • exprimer la forme la plus générale de l'accélération d'entrainement d'un référentiel \(R\) animé d'un mouvement de rotation par rapport à un autre référentiel \(G\)

    • exprimer ensuite cette accélération dans le cas de l'énoncé : pas de translation + rotation uniforme

  2. Un champ cylindrique est porté par le vecteur polaire et sa norme ne dépend que de la distance à l'axe.

    • Se placer en coordonnées cylindriques pour calculer le gradient.

    • La dérivée partielle par rapport à une variable se confond avec la dérivée totale lorsqu'il n'y a qu'une variable.

Solution détaillée

1)

La forme la plus générale de\( \overrightarrow\gamma_e(M)\) s'écrit :

\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma(O)+\overrightarrow\Omega\wedge(\Omega\wedge\overrightarrow{OM})+\frac{\textrm d\overrightarrow\Omega}{\textrm{dt}}\wedge\overrightarrow{OM}}\)

Dans le cas particulier de la rotation uniforme \(\displaystyle{(\frac{\textrm d\overrightarrow\Omega}{\textrm{dt}}=\overrightarrow0)}\) autour d'un axe (sans mouvement de translation :

\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma(O)=\overrightarrow0 :\overrightarrow\gamma_e(M)=\overrightarrow\Omega\wedge(\overrightarrow\Omega\wedge\overrightarrow{OM})}\)

Dans la base\( (\displaystyle{\overrightarrow u_\rho,\overrightarrow u_\Phi,\overrightarrow k})\) :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OM}=\rho\overrightarrow u_\rho+z\overrightarrow k\textrm{ et }\overrightarrow\Omega=\Omega\overrightarrow k}\)

d'où

\(\displaystyle{\overrightarrow\Omega\wedge\overrightarrow{OM}=\Omega_\rho\overrightarrow u_\rho\wedge\overrightarrow k=\Omega R\sin\Phi\overrightarrow u_\Phi}\)

où \(\theta\) est la colatitude \((\overrightarrow k,\overrightarrow u_\rho)\) , coordonnée utilisée en coordonnées sphériques.

\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_e(M)=-\Omega^2R\sin\Phi\overrightarrow u_\rho}\)

A l'Equateur\( \displaystyle{\overrightarrow\gamma_e(M)=-\Omega^2R}\) est maximum ; aux pôles\( \displaystyle{\overrightarrow\gamma_e(M)=\overrightarrow0}\).

2) Pour un point

\(\displaystyle{M\in\textrm{ Surface de la Terre : M}\to\overrightarrow\gamma_e(M)=-\Omega^2R\sin\Phi\overrightarrow u_\rho=-\Omega^2\rho\overrightarrow u_\rho}\)

C'est la définition d'un champ de vecteurs de la forme \(\displaystyle{f(\rho)\overrightarrow u_\rho}\) . La symétrie du champ est axiale : l'axe des pôles étant l'axe de symétrie. Le champ à la surface de la Terre provenant de l'accélération d'entraînement est un champ axial (selon\( \overrightarrow u_\rho\) ) et il ne dépend que de la distance à l'axe, donc cylindrique.

3) Le potentiel scalaire \(T(\rho)\) est tel que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{\gamma_e}(M)=-\Omega^2\rho\overrightarrow u_\rho}\)

doit être son gradient. On doit donc avoir :

\(\displaystyle{-\Omega^2\rho\overrightarrow u_\rho=-\overrightarrow{\textrm{gradM}}T=-\frac{\delta T}{\delta\rho}\overrightarrow u_\rho=-\frac{\textrm dT}{\textrm d\rho}\overrightarrow u_\rho}\)

car l'accélération ne dépend que de \(\rho\). L'expression du potentiel scalaire est telle que :

T(r) a la dimension du carré d'une vitesse et correspond à une énergie cinétique de rotation pour une masse unité placée en M.