Question 1
Durée : 8 mn
Note maximale : 8
Question
En admettant que la vitesse \(v\) acquise par un corps de masse \(m\) tombant, dans le vide d'une hauteur \(h\) soit de la forme: \(v= k~m^{\alpha}h^{\beta}g^{\gamma}\)
déterminer \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) par des considérations d'homogénéité (\(k\) est une constante).
Solution
La relation de la vitesse nous permet d'écrire l'équation aux dimensions:
\(\dim~ v = \dim~ (m)^\alpha \times \dim~ (h)^\beta \times \dim~ (g)^\gamma\)
or \(\dim~ v = LT^{-1}\)
et
\(\dim ~g = \dim~ (\textrm{vitesse}) / \dim ~(\textrm{temps}) = LT^{-2}\) ,
donc \(LT^{-1} = M^{\alpha}L^{\beta}(LT^{-2})^{\gamma} = L^{\beta+\gamma} M^{\alpha} T^{-2\gamma}\) ( 3 points )
par identification:
\(\left\{\begin{array}{l} 1 = \beta + \gamma \\ \alpha = 0 \\ -1 = -2 \gamma \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \alpha = 0 \\ \beta = \gamma = \frac{1}{2} \end{array}\right.\) ( 2 points )
d'où la forme de la vitesse:
\(v = k \sqrt{gh}\) ( 3 points )