Question 1 [Systèmes et unités de mesures]

Question 1

Durée : 10 mn

Note maximale : 15

Question

On suppose que la surélévation $h$ du niveau d'un lac due au vent de :

$\overline{p}$ , profondeur moyenne de ce lac.

$l$ , longueur du lac.

$\omega$ , poids volumique de l'eau (force par unité de volume).

$\tau$ , force tangentielle due au vent (force par unité de surface).

En écrivant $h$ sous forme d'un développement de puissances quelconques, de $\overline{p}$ , $l$ , $\omega$ et $\tau$ déterminer la fonction $\textrm{f}$ représentative de: $h = \textrm{f}(\overline{p},l,\omega,\tau)$

Solution

Par hypothèse, nous posons :

$h = K~ \overline{p}^{\alpha}~l^{\beta}\omega^{\gamma}~\tau^{\delta}$

$\dim~h = \dim~\overline{p}= \dim~(\textrm{longueur}) = L$ ( 2 points )

$\dim~\omega = \dim~(\textrm{force}) / \dim~(\textrm{volume}) = LMT^{-2} / L^{3} = L^{-2}MT^{-2}$ ( 2 points )

$\dim~\tau = \dim~(\textrm{force}) / \dim~(\textrm{surface}) = LMT^{-2}/L^{2} = L^{-1}MT^{-2}$ ( 2 points )

L'équation aux dimensions conduit à identifier chaque membre de la relation à une longueur :

$(\dim~(\textrm{longueur}) = L)$ .

$\begin{array}{c}\dim~h = \dim(\overline{p})^{\alpha} \times \dim (l)^{\beta} \times \dim (\omega)^{\gamma} \times \dim (\tau)^{\delta} \\ L = (L)^{\alpha}(L)^{\beta}(L^{-2}MT^{-2})^{\gamma} (L^{-1}MT^{-2})^{\delta} \\ L = L^{\alpha + \beta - 2 \gamma - \delta} ~M ^{\gamma + \delta}~ T^{-2 \gamma - 2 \delta}\end{array}$ ( 4 points )

Par identification:

$\left. \begin{array}{ll} \textrm{Pour }L: \quad 1 = \alpha + \beta -2 \gamma - \delta \\\\ \textrm{Pour }M: \quad 0=\gamma + \delta \\\\ \textrm{Pour }T: \quad 0=-2 \gamma - 2\delta \end{array} \right\} \begin{array}{ll} \textrm{En r\'esolvant par rapport \`a } \beta \textrm{ et } \gamma : \\\\ \delta = - \gamma \\\\ \alpha = 1 - \beta + \gamma \end{array}$

d'où

$h = K ~\overline{p}^{ +1-\beta+\gamma}~ l^{\beta} ~\omega^{\gamma} ~\tau^{-\gamma}$ ( 5 points )