Question 1
Durée : 10 mn
Note maximale : 15
Question
On suppose que la surélévation \(h\) du niveau d'un lac due au vent de :
\(\overline{p}\), profondeur moyenne de ce lac.
\(l\) , longueur du lac.
\(\omega\) , poids volumique de l'eau (force par unité de volume).
\(\tau\) , force tangentielle due au vent (force par unité de surface).
En écrivant \(h\) sous forme d'un développement de puissances quelconques, de \(\overline{p}\), \(l\), \(\omega\) et \(\tau\) déterminer la fonction \(\textrm{f}\) représentative de: \(h = \textrm{f}(\overline{p},l,\omega,\tau)\)
Solution
Par hypothèse, nous posons :
\(h = K~ \overline{p}^{\alpha}~l^{\beta}\omega^{\gamma}~\tau^{\delta}\)
or
\(\dim~h = \dim~\overline{p}= \dim~(\textrm{longueur}) = L\) ( 2 points )
\(\dim~\omega = \dim~(\textrm{force}) / \dim~(\textrm{volume}) = LMT^{-2} / L^{3} = L^{-2}MT^{-2}\) ( 2 points )
\(\dim~\tau = \dim~(\textrm{force}) / \dim~(\textrm{surface}) = LMT^{-2}/L^{2} = L^{-1}MT^{-2}\) ( 2 points )
L'équation aux dimensions conduit à identifier chaque membre de la relation à une longueur :
\((\dim~(\textrm{longueur}) = L)\).
\(\begin{array}{c}\dim~h = \dim(\overline{p})^{\alpha} \times \dim (l)^{\beta} \times \dim (\omega)^{\gamma} \times \dim (\tau)^{\delta} \\ L = (L)^{\alpha}(L)^{\beta}(L^{-2}MT^{-2})^{\gamma} (L^{-1}MT^{-2})^{\delta} \\ L = L^{\alpha + \beta - 2 \gamma - \delta} ~M ^{\gamma + \delta}~ T^{-2 \gamma - 2 \delta}\end{array}\) ( 4 points )
Par identification:
\(\left. \begin{array}{ll} \textrm{Pour }L: \quad 1 = \alpha + \beta -2 \gamma - \delta \\\\ \textrm{Pour }M: \quad 0=\gamma + \delta \\\\ \textrm{Pour }T: \quad 0=-2 \gamma - 2\delta \end{array} \right\} \begin{array}{ll} \textrm{En r\'esolvant par rapport \`a } \beta \textrm{ et } \gamma : \\\\ \delta = - \gamma \\\\ \alpha = 1 - \beta + \gamma \end{array}\)
d'où
\(h = K ~\overline{p}^{ +1-\beta+\gamma}~ l^{\beta} ~\omega^{\gamma} ~\tau^{-\gamma}\) ( 5 points )