Nombres complexes

En posant \(\underline{z} = \cos 5x + j \sin 5x\) nous avons \(\cos 5x = \Re \left\{ \underline{z}\right\}\)

D'après la formule de Moivre : \(\cos 5x +j \sin 5x = \left(\cos x + j \sin x \right)^{5}\) , nous en déduisons par application de la formule du binôme :

\(\cos 5x = \Re \left[ \cos^{5}x + j 5 \cos^{4} x \sin x -10 \cos^{3}x \sin^{2}x - j10 \cos^{2}x \sin^{3} x + 5 \cos x \sin^{4}x + j \sin^{5}x\right]\)

d'où

\(\cos 5x = \cos^{5}x - 10\cos^{3}x\left(1-\cos^{2}x\right) + 5 \cos x \left(1- \cos^{2}x\right)^{2} = 16 \cos^{5} x - 20\cos^{3}x + 5 \cos x\)

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