Question 1 [Nombres complexes]

Question 1

Durée : 5 mn

Note maximale : 4

Question

Détermination de la vibration résultante en un point $M$ , où se superposent deux vibrations lumineuses de même pulsation $\omega$ , d'amplitudes différentes $a_{1} \ne a_{2}$ et déphasées de $\varphi$ .

$s_{1}(t) =a_{1} \cos \omega t$ et $s_{2}(t) = a_{2} \cos \left(\omega t + \varphi\right)$

Exprimer les amplitudes complexes $\underline{A}_1$ et $\underline{A}_2$ des grandeurs complexes $\underline{s}_{1}(t)$ et $\underline{s}_{2}(t)$ associées aux grandeurs réelles $s_1(t)$ et $s_2(t)$ .

Solution

En utilisant la formulation complexe, nous avons :

$s_{1}(t) = a_{1} \cos \omega t = \Re\left\{\underline{s}_{1}(t)\right\}$ avec $\underline{s}_{1}(t) = a_{1} e^{j \omega t} = \underline{A}_{1} e^{j \omega t}$ où $\underline{A}_{1} =a_{1}$ ( 2 points)

$s_{2}(t) = a_{2} \cos \left(\omega t + \varphi\right)= \Re\left\{\underline{s}_{2}(t)\right\}$ avec $\underline{s}_{2}(t) = a_{2} e^{j \left(\omega t + \varphi\right)} = \underline{A}_{2} e^{j \omega t}$ où $\underline{A}_{2} =a_{2}e^{j \varphi}$

( 2 points)