Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances

Fonctions dérivées :

Pour \(x > 1\) , \(\ln x > 0\)

\(f (x) = \ln (\ln x)\)

\(f'(x) = \frac{1}{x \ln x}>0\) fonction croissante ( 2 points )

Pour \(0 < x < 1 ,~ \ln x < 0\)

\(f(x) = \ln (- \ln x)\)

\(f'(x) = - \frac{1}{x \ln x} <0\) fonction décroissante ( 2 points )

Dérivée seconde :

\(f''(x) = \pm \frac{(1+\ln x)}{ (x \ln x)^{2}} \Rightarrow f ''(x) = 0 \textrm{ pour } \ln x = -1 \Leftrightarrow x = 1/e ~\textrm{ et }~ f(1/e) = 0\)

Le point \(( 1/e~ ;~ 0)\) est un point d'inflexion ( 2 points )

Pour \(x \in ]0; 1/e[ , (1 + \ln x) < 0\) et \(f ''(x) > 0\) (convexité de la courbe) ( 1 point )

Pour \(x \in ]1/e~; ~1[ \cup ]1/e~;~ + \infty [\) , \((1 + \ln x) > 0\) et \(f ''(x) < 0\) (concavité de la courbe) ( 1 point )