Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

La fonction \(\textrm{Argch }x\) étant définie sur \([ 1 ; + \infty [\) , la variable \(x\) doit être \(\ge 1\) (2pts)

Le système est équivalent à :

\(\begin{array}{lll}3 \ln x = 2 \ln \textrm{ ch}y \Leftrightarrow \ln x^{3} = \ln \textrm{ ch}^{2} y &\Leftrightarrow x^{3} = \textrm{ch}^{2} y \\ \textrm{Argch }x = 2y&\Leftrightarrow x= \textrm{ch}2y\end{array}\)

or \(\textrm{ch }2y = 2 \textrm{ch}^{2}y - 1 \Leftrightarrow x = 2 x^{3} - 1\)

d'où \(2 x^{3} - x - 1 = 0\) (2pts)

On remarque la racine évidente \(x_{0} = 1\) et par division euclidienne, nous obtenons le produit de facteurs :

\(2 x^{3} - x - 1 = (x - 1)(2 x^{2} + 2x + 1) = 0\) (2pts)

En dehors de \(x_{0} = 1\) nous avons \(2 x^{2} + 2 x + 1 = 0\).

Le discriminant réduit \(\Delta' = -1\) étant négatif cette équation n'admet pas de racine dans \(\mathbb{R}\). D'où la seule solution du système :

\(x_{0} = 1\) et \(y_{0} = 0\) (2pts)