La vibration résultante sera : \(y(t) = y_{1}(t) + y_{2}(t)\).
\(a \sin (\omega t + \varphi ) = a_{1} \sin(\omega t + \varphi_{1}) + a_{2} \sin(\omega t + \varphi_{2})\)
Cette égalité étant vérifiée quelle que soit le temps \(t\) (ou \(\omega t\)), nous aurons :
\(\omega t = 0 \Rightarrow a \sin \varphi= a_{1} \sin \varphi_{1} + a_{2} \sin \varphi_{2}\) (1) (1 pt)
\(\omega t = \pi/2 \Rightarrow a \cos\varphi = a_{1} \cos \varphi_{1} + a_{2} \cos \varphi_{2}\) (2) (1 pt)
Détermination de l'amplitude \(a\)
Elevons au carré les deux membres de ces deux équations et sommons \((1)^{2} + (2)^{2}\) :
\(\begin{array}{rrl}a^{2} \left(\sin^{2} \varphi + \cos^{2} \varphi\right) &=& \left(a_{1} \sin \varphi_{1} + a_{2} \sin \varphi_{2}\right)^{2} + \left(a_{1} \cos \varphi_{1} + a_{2} \cos \varphi_{2}\right)^{2} \\ a^{2} &=& a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} \left(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}\right) \\ a^{2} &=& a_{1}^{2}+ a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2} \cos (\varphi_{1} - \varphi_{2})\end{array}\)
d'où
\(a = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2a_{1}a_{2} \cos \left(\varphi_{1} - \varphi_{2}\right)}\) (2 pts)
Détermination de la phase \(\varphi\)
Faisons le quotient membre à membre des deux équations précédente : (1) / (2)
\(\frac{a \sin \varphi}{a \cos \varphi} = \frac{a_{1} \sin \varphi_{1} + a_{2} \sin \varphi_{2}}{a_{1} \cos \varphi_{1} + a_{2} \cos \varphi_{2}}\)
\(\tan \varphi = \frac{a_{1} \sin \varphi_{1} + a_{2} \sin \varphi_{2}}{a_{1} \cos \varphi_{1} + a_{2} \cos \varphi_{2}}\)
\(\varphi = \textrm{Arctan }\frac{a_{1} \sin \varphi_{1} + a_{2} \sin \varphi_{2}}{a_{1} \cos \varphi_{1} + a_{2} \cos \varphi_{2}} \quad [\pi]\) (2 pts)
A.N. : \(y_{1} = 3 \sin(\omega t + \pi/6)\) et \(y_{2} = 4 \sin(\omega t - \pi/3)\)
\(y = a \sin(\omega t + \varphi)\)
avec
\(a = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2 \times 3 \times 4 \times \cos (\pi/2)} = 5\) (1pt)
\(\varphi = \textrm{Arctan } \frac{3 \times (1/2) + 4 \times \left(-\sqrt{3}/2\right)}{3 \times \left( \sqrt{3}/2\right) + 4 \times (1/2)} = -\mathrm{23,13}^{\circ}\) (1pt)