Effet Compton
Partie
Question
Un photon incident de fréquence \(\nu_{0}\), de direction \(\vec{u}_{x}\), rencontre, à l'origine des coordonnées, un électron immobile de masse \(m_{0}\). Après collision le photon de fréquence \(\nu<\nu_{0}\) diffuse dans une direction \(\theta\) par rapport à \(\vec{u}_{x}\). Au cours de cette collision élastique, l'électron est éjecté à la vitesse \(\vec{\nu}\) dans une direction \(\varphi\) par rapport à \(\vec{u}_{x}\).
Déterminer les énergies et les quantités de mouvement du photon et de l'électron, avant et après collision.
Vous pouvez visualiser le récapitulatif de l'énoncé ci-dessous :
Aide simple
Pour une particule, l'énergie \(E\) et le module de la quantité de mouvement \(p\), vérifient l'invariant relativiste :
\(E^{2} - p^{2}c^{2} = m_{0}^{2}c^{4}\)
avec \(\left\{\begin{array}{lll}\vec{p} = \frac{E}{c^{2}} \vec{v} \\ E = m c^{2} \\ m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{\nu^{2}}{c^{2}}}} \end{array}\right.\)
Aide détaillée
Le photon se propageant à la vitesse \(c\), amène à définir sa masse \(m_{0} = 0\) au repos car la masse \(m\) et l'énergie \(E\) du photon doivent être finies
Question
Déterminer la relation entre les longueurs d'onde \(\lambda\), \(\lambda_{0}\) ( ou \(\nu\), \(\nu_{0}\)) et l'angle \(\theta\) d'observation du photon diffusé.
Aide simple
Écrire la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, pour le photon et l'électron avant et après collision.
Aide détaillée
La projection, sur deux axes perpendiculaires, de la conservation de la quantité de mouvement conduit à des relations entre lignes trigonométriques qui permettent d'éliminer l'angle \(\varphi\).
L'utilisation de la relation de conservation de l'énergie totale associée à l'invariant relativiste, permettra, après calculs, d'obtenir le résultat.
Solution simple
Equations-bilan :
Conservation de l'énergie : \(h \nu_{0} + m_{0}c^{2} = h \nu + m c^{2}\)
Conservation de la quantité de mouvement : \(\frac{h \nu_{0}}{c} \vec{u}_{x} = \frac{h \nu}{c} \vec{u} + m \vec{\nu}\)
Projection de la quantité de mouvement :
\(\left.\begin{array}{lc} \textrm{sur }Ox :& \frac{h \nu_{0}}{c} = \frac{h \nu}{c} \cos \theta + m \nu \cos \varphi \\ \textrm{sur }Oy :& 0 = \frac{h \nu}{c} \sin \theta + m \nu \sin \varphi \end{array}\right\}\) (I)
Par élimination de \(\varphi\) du système (I) on a une première relation :
\(p^{2}c^{2} = h^{2} \left[\nu_{0}^{2} + \nu^{2} - 2 \nu_{0}\nu \cos \theta\right]\)
La conservation de l'énergie conduit à la seconde relation :
\(p^{2}c^{2} = \left[h(\nu_{0} - \nu) + m_{0} c^{2} \right]^{2} - m_{0}^{2}c^{4}\)
Après égalité, nous obtenons le résultat :
\(\delta \lambda = \lambda - \lambda_{0} = \frac{h}{m_{0}c^{2}}(1-\cos \theta)\) avec \(\left(\lambda = \frac{c}{\nu}\right)\)
Solution détaillée
D'après les lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement nous avons :
avant collision | après collision | |
Energie | \(h \nu_{0} + m_{0}c^{2} = h \nu + m c^{2}\) | \(h \nu_{0} + m_{0}c^{2} = h \nu + m c^{2}\) |
Quantité de mouvement | \(\frac{h \nu_{0}}{c} \vec{u}_{x} = \frac{h \nu}{c} \vec{u} + m \vec{\nu}\) | \(\frac{h \nu_{0}}{c} \vec{u}_{x} = \frac{h \nu}{c} \vec{u} + m \vec{\nu}\) |
Projetons sur \(\overrightarrow{Ox}\) et \(\overrightarrow{Oy}\) la relation de conservation de la quantité de mouvement :
\(\left.\begin{array}{lc} \textrm{sur }Ox :& \frac{h \nu_{0}}{c} = \frac{h \nu}{c} \cos \theta + m \nu \cos \varphi \\ \textrm{sur }Oy :& 0 = \frac{h \nu}{c} \sin \theta + m \nu \sin \varphi \end{array}\right\}\) (I)
L'élimination de \(\varphi\) du système (I) par l'utilisation de \(\cos^{2}\varphi + \sin^{2}\varphi = 1\) fournit :
\(m^{2}\nu^{2}(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi) = m^{2} \nu^{2} = p^{2} = \frac{h^{2}}{c^{2}} \left[(\nu_{0} - \nu \cos \theta )^{2} + \nu^{2} \sin^{2} \theta\right]\)
d'où
\(p^{2}c^{2} = m^{2} \nu^{2} c^{2} = h^{2} \left[\nu_{0}^{2} + \nu^{2} - 2 \nu_{0}\nu \cos \theta\right]\) \(=h^{2} \left[(\nu_{0} - \nu )^{2} + 2 \nu_{0} \nu (1-\cos \theta)\right]\) | (1) |
L'invariant relativiste, associé à la relation de conservation de l'énergie permet d'extraire \(p^{2}c^{2}\) :
\(h \nu_{0} + m_{0}c^{2} = h \nu + m c^{2} = h \nu + E = h \nu + \sqrt{p^{2}c^{2} + m_{0}^{2} c^{4}}\)
d'où
\(p^{2}c^{2} = \left[h(\nu_{0} - \nu) + m_{0}c^{2}\right]^{2} - m_{0}^{2} c^{4}\) | (2) |
Par égalité des deux expressions de \(p^{2}c^{2}\) :
\(\left[h(\nu_{0} - \nu) + m_{0}c^{2}\right]^{2} - m_{0}^{2}c^{4} = h^{2}\left[(\nu_{0} - \nu)^{2} + 2 \nu_{0} \nu (1-\cos \theta) \right]\)
et
\(h^{2}(\nu_{0} - \nu)^{2} + 2h (\nu_{0} -\nu)m_{0}c^{2} + m_{0}^{2}c^{4} - m_{0}^{2} c^{4}\)
\(= h^{2} (\nu_{0} - \nu)^{2} + 2 \nu_{0}\nu h^{2} (1-\cos \theta)\)
Après simplification, on obtient :
\(m_{0}c^{2}(\nu-\nu_{0}) = h \nu_{0}\nu (1-\cos \theta)\) | (3) |
En posant : \(\delta \lambda = \lambda - \lambda_{0}\) avec \(\lambda = c/\nu\) et \(\lambda_{c} = h / (m_{0}c^{2})\) (longueur d'onde de Compton)
\(\delta \lambda = \lambda - \lambda_{0} = \lambda_{c} (1-\cos \theta)\)
Remarques :
Les observations expérimentales coïncident avec les propriétés de l'écart \(\delta \lambda\), à savoir :
\(\delta \lambda\) positif : après le choc, l'énergie du photon diminue \(\Rightarrow\) la longueur d'onde augmente.
\(\delta \lambda\) fonction croissante de \(\theta\) (la fonction \((1 - \cos \theta) = 2 sin^{2}(\theta /2)\) est monotone sur \([0, \pi]\)).
\(\delta \lambda\) déterminé par la seule connaissance de \(\theta\) (\(\delta \lambda\) ne dépend ni de la matière diffusante ni de la longueur d'onde incidente \(\lambda_{0}\))
Question
Après collision, l'électron est éjecté suivant l'angle \(\varphi\) par rapport à l'axe \(\overrightarrow{Ox}\).
Exprimer l'angle \(\varphi\) en fonction de \(\theta\), angle de la direction du photon diffusé.
Montrer que l'énergie cinétique \(T\) de l'électron de recul peut s'exprimer aussi en fonction de cet angle \(\theta\).
En déduire que la seule connaissance de l'angle \(\varphi\) d'éjection permet d'évaluer l'énergie cinétique \(T\) en fonction de la fréquence \(\nu_{0}\) du photon incident.
Aide simple
Utiliser :
les deux équations de la projection de la quantité de mouvement sur les axes pour trouver la relation entre les angles \(\varphi\) et \(\theta\)
la conservation de l'énergie pour l'expression de l'énergie cinétique \(T\).
Aide détaillée
Faire le rapport des deux équations précédentes pour obtenir \(\tan\varphi\) .
La conservation de l'énergie totale permet d'écrire l'énergie cinétique sous la forme :
\(T = h (\nu - \nu_{0})\)
La relation (3) fournit l'expression de \(\nu\) en fonction de \(\nu_{0}\) et de l'angle \(\theta\)
La substitution des lignes trigonométriques de l'angle \(\theta\) par celles de l'angle \(\varphi\) conduit à l'expression de \(T\) fonction de \(\varphi\).
Solution simple
Le rapport des deux équations nous donne :
\(\tan \varphi = -\frac{\sin \theta}{\left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\right)(1-\cos \theta)} = - \frac{\textrm{cotan}\frac{\theta}{2}}{1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}}\)
L'énergie cinétique de l'électron s'exprime par :
\(T = E - m_{0}c^{2} = (m-m_{0}) c^{2} = h \nu_{0} \left(1-\frac{\nu}{\nu_{0}}\right) = \frac{h \nu_{0}}{1 + \frac{m_{0} c^{2}}{h \nu_{0} (1-\cos \theta)}}\)
La substitution des lignes trigonométriques de l'angle \(\theta\) par celles de \(\varphi\) conduit à :
\(\frac{1}{\sin^{2} \frac{\theta}{2}} = 1 + \left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\right)^{2} \tan^{2} \varphi\)
d'où
\(T = \frac{2\frac{h^{2} \nu_{0}^{2}}{m_{0}c^{2}}\cos^{2} \varphi}{1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\left(2 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2} }\sin^{2} \varphi\right)}\)
Solution détaillée
La relation de conservation de la quantité de mouvement, projetée sur les axes \(Ox\) et \(Oy\), relie l'angle \(\varphi\) d'éjection de l'électron à l'angle \(\theta\) de diffusion du photon. En effet, le rapport membre à membre de ces deux équations, conduit à :
\(\tan \varphi = \frac{-\frac{h \nu}{c} \sin \theta}{ \frac{h}{c} (\nu_{0} - \nu \cos \theta)} = -\frac{\sin \theta}{\frac{\nu_{0}}{\nu} - \cos \theta}\)
or comme \(\frac{\nu_{0}}{\nu} = 1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}(1-\cos \theta)\) il vient
\(\tan \varphi = - \frac{\sin \theta}{\left(1+\frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\right)(1-\cos \theta)}=- \frac{\textrm{cotan}\frac{\theta}{2}}{1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}}\) | (a) |
après utilisation des relations trigonométriques
\(\sin\theta = 2 \sin(\theta /2) \cos(\theta /2)\) et \(1- \cos\theta = 2 \sin^{2} (\theta /2)\)
En relativité, l'énergie cinétique de l'électron s'écrit : \(T = E - m_{0} c^{2} = (m - m_{0}) c^{2}\)
or d'après l'équation de la conservation de l'énergie :
\(h\nu_{0} + m_{0}c^{2} = h\nu + mc^{2} ⇒ (m - m_{0}) c^{2} = h (\nu - \nu_{0})\)
d'où \(T = (m - m_{0}) c^{2} = h\nu_{0} (1 - \nu / \nu_{0})\)
La relation (3) permet d'exprimer le facteur \((1 - \nu / \nu_{0})\)
\(m_{0}c^{2}(\nu_{0} - \nu) = h \nu_{0} \nu (1-\cos \theta)\)
\(\Leftrightarrow \frac{\nu}{\nu_{0}} = \frac{m_{0}c^{2}}{m_{0}c^{2} + h \nu_{0} (1-\cos \theta)}\)
\(\Leftrightarrow 1-\frac{\nu}{\nu_{0}} = \frac{h \nu_{0} (1-\cos \theta)}{m_{0}c^{2} + h \nu_{0} (1-\cos \theta)}\)
L'énergie cinétique devenant :
\(T = \frac{h \nu_{0}}{1 + \frac{m_{0} c^{2}}{h \nu_{0} (1-\cos \theta)}}\)
Transformons dans l'expression de \(T\) les lignes trigonométriques de \(\theta\) par celles de \(\varphi\).
\(1 - \cos \theta= 2 \sin^{2}(\theta /2)\)
or par élévation au carré de la relation (a) nous obtenons :
\(\tan^{2} \varphi = \frac{\textrm{cotan}^{2} \frac{\theta}{2}}{\left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0} c^{2}}\right)^{2}} = \frac{1- \sin^{2}\frac{\theta}{2}}{\left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0} c^{2}}\right)^{2} \sin^{2} \frac{\theta}{2}}\)
d'où
\(\frac{1}{\sin^{2} \frac{\theta}{2}} = 1 + \left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0} c^{2}}\right)^{2} \tan^{2} \varphi\)
La substitution de cette expérience dans celle de \(T\) fournit le résultat :
\(T = \frac{h \nu_{0}}{1 + \frac{m_{0} c^{2}}{2h \nu_{0}} \left[1 + \left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\right)^{2} \tan^{2} \varphi\right]}\)
\(T = \frac{2\frac{h^{2} \nu_{0}^{2}}{m_{0}c^{2}}\cos^{2} \varphi}{1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\left(2 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2} }\sin^{2} \varphi\right)}\)
( après utilisation de la relation trigonométrique : \(1/\cos^{2}\varphi = 1 + \tan^{2}\varphi\) )