Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

Equations-bilan :

Conservation de l'énergie : \(h \nu_{0} + m_{0}c^{2} = h \nu + m c^{2}\)

Conservation de la quantité de mouvement : \(\frac{h \nu_{0}}{c} \vec{u}_{x} = \frac{h \nu}{c} \vec{u} + m \vec{\nu}\)

Projection de la quantité de mouvement :

\(\left.\begin{array}{lc} \textrm{sur }Ox :& \frac{h \nu_{0}}{c} = \frac{h \nu}{c} \cos \theta + m \nu \cos \varphi \\ \textrm{sur }Oy :& 0 = \frac{h \nu}{c} \sin \theta + m \nu \sin \varphi \end{array}\right\}\) (I)

Par élimination de \(\varphi\) du système (I) on a une première relation :

\(p^{2}c^{2} = h^{2} \left[\nu_{0}^{2} + \nu^{2} - 2 \nu_{0}\nu \cos \theta\right]\)

La conservation de l'énergie conduit à la seconde relation :

\(p^{2}c^{2} = \left[h(\nu_{0} - \nu) + m_{0} c^{2} \right]^{2} - m_{0}^{2}c^{4}\)

Après égalité, nous obtenons le résultat :

\(\delta \lambda = \lambda - \lambda_{0} = \frac{h}{m_{0}c^{2}}(1-\cos \theta)\) avec \(\left(\lambda = \frac{c}{\nu}\right)\)

D'après les lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement nous avons :

Projetons sur \(\overrightarrow{Ox}\) et \(\overrightarrow{Oy}\) la relation de conservation de la quantité de mouvement :

\(\left.\begin{array}{lc} \textrm{sur }Ox :& \frac{h \nu_{0}}{c} = \frac{h \nu}{c} \cos \theta + m \nu \cos \varphi \\ \textrm{sur }Oy :& 0 = \frac{h \nu}{c} \sin \theta + m \nu \sin \varphi \end{array}\right\}\) (I)

L'élimination de \(\varphi\) du système (I) par l'utilisation de \(\cos^{2}\varphi + \sin^{2}\varphi = 1\) fournit :

\(m^{2}\nu^{2}(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi) = m^{2} \nu^{2} = p^{2} = \frac{h^{2}}{c^{2}} \left[(\nu_{0} - \nu \cos \theta )^{2} + \nu^{2} \sin^{2} \theta\right]\)

d'où

L'invariant relativiste, associé à la relation de conservation de l'énergie permet d'extraire \(p^{2}c^{2}\) :

\(h \nu_{0} + m_{0}c^{2} = h \nu + m c^{2} = h \nu + E = h \nu + \sqrt{p^{2}c^{2} + m_{0}^{2} c^{4}}\)

d'où

Par égalité des deux expressions de \(p^{2}c^{2}\) :

\(\left[h(\nu_{0} - \nu) + m_{0}c^{2}\right]^{2} - m_{0}^{2}c^{4} = h^{2}\left[(\nu_{0} - \nu)^{2} + 2 \nu_{0} \nu (1-\cos \theta) \right]\)

et

\(h^{2}(\nu_{0} - \nu)^{2} + 2h (\nu_{0} -\nu)m_{0}c^{2} + m_{0}^{2}c^{4} - m_{0}^{2} c^{4}\)

\(= h^{2} (\nu_{0} - \nu)^{2} + 2 \nu_{0}\nu h^{2} (1-\cos \theta)\)

Après simplification, on obtient :

En posant : \(\delta \lambda = \lambda - \lambda_{0}\) avec \(\lambda = c/\nu\) et \(\lambda_{c} = h / (m_{0}c^{2})\) (longueur d'onde de Compton)

\(\delta \lambda = \lambda - \lambda_{0} = \lambda_{c} (1-\cos \theta)\)

Remarques :

Les observations expérimentales coïncident avec les propriétés de l'écart \(\delta \lambda\), à savoir :

• \(\delta \lambda\) positif : après le choc, l'énergie du photon diminue  \(\Rightarrow\) la longueur d'onde augmente.

• \(\delta \lambda\) fonction croissante de \(\theta\) (la fonction \((1 - \cos \theta) = 2 sin^{2}(\theta /2)\) est monotone sur \([0, \pi]\)).

• \(\delta \lambda\) déterminé par la seule connaissance de \(\theta\) (\(\delta \lambda\) ne dépend ni de la matière diffusante ni de la longueur d'onde incidente \(\lambda_{0}\))

Le rapport des deux équations nous donne :

\(\tan \varphi = -\frac{\sin \theta}{\left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\right)(1-\cos \theta)} = - \frac{\textrm{cotan}\frac{\theta}{2}}{1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}}\)

L'énergie cinétique de l'électron s'exprime par :

\(T = E - m_{0}c^{2} = (m-m_{0}) c^{2} = h \nu_{0} \left(1-\frac{\nu}{\nu_{0}}\right) = \frac{h \nu_{0}}{1 + \frac{m_{0} c^{2}}{h \nu_{0} (1-\cos \theta)}}\)

La substitution des lignes trigonométriques de l'angle \(\theta\) par celles de \(\varphi\) conduit à :

\(\frac{1}{\sin^{2} \frac{\theta}{2}} = 1 + \left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\right)^{2} \tan^{2} \varphi\)

d'où

\(T = \frac{2\frac{h^{2} \nu_{0}^{2}}{m_{0}c^{2}}\cos^{2} \varphi}{1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\left(2 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2} }\sin^{2} \varphi\right)}\)

La relation de conservation de la quantité de mouvement, projetée sur les axes \(Ox\) et \(Oy\), relie l'angle \(\varphi\) d'éjection de l'électron à l'angle \(\theta\) de diffusion du photon. En effet, le rapport membre à membre de ces deux équations, conduit à :

\(\tan \varphi = \frac{-\frac{h \nu}{c} \sin \theta}{ \frac{h}{c} (\nu_{0} - \nu \cos \theta)} = -\frac{\sin \theta}{\frac{\nu_{0}}{\nu} - \cos \theta}\)

or comme \(\frac{\nu_{0}}{\nu} = 1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}(1-\cos \theta)\) il vient

après utilisation des relations trigonométriques

\(\sin\theta = 2 \sin(\theta /2) \cos(\theta /2)\) et  \(1- \cos\theta = 2 \sin^{2} (\theta /2)\)

En relativité, l'énergie cinétique de l'électron s'écrit : \(T = E - m_{0} c^{2} = (m - m_{0}) c^{2}\)

or d'après l'équation de la conservation de l'énergie :

\(h\nu_{0} + m_{0}c^{2} = h\nu + mc^{2} ⇒ (m - m_{0}) c^{2} = h (\nu - \nu_{0})\)

d'où \(T = (m - m_{0}) c^{2} = h\nu_{0} (1 - \nu / \nu_{0})\)

La relation (3) permet d'exprimer le facteur \((1 - \nu / \nu_{0})\)

\(m_{0}c^{2}(\nu_{0} - \nu) = h \nu_{0} \nu (1-\cos \theta)\)

\(\Leftrightarrow \frac{\nu}{\nu_{0}} = \frac{m_{0}c^{2}}{m_{0}c^{2} + h \nu_{0} (1-\cos \theta)}\)

\(\Leftrightarrow 1-\frac{\nu}{\nu_{0}} = \frac{h \nu_{0} (1-\cos \theta)}{m_{0}c^{2} + h \nu_{0} (1-\cos \theta)}\)

L'énergie cinétique devenant :

\(T = \frac{h \nu_{0}}{1 + \frac{m_{0} c^{2}}{h \nu_{0} (1-\cos \theta)}}\)

Transformons dans l'expression de \(T\) les lignes trigonométriques de \(\theta\) par celles de \(\varphi\).

\(1 - \cos \theta= 2 \sin^{2}(\theta /2)\)

or par élévation au carré de la relation (a) nous obtenons :

\(\tan^{2} \varphi = \frac{\textrm{cotan}^{2} \frac{\theta}{2}}{\left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0} c^{2}}\right)^{2}} = \frac{1- \sin^{2}\frac{\theta}{2}}{\left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0} c^{2}}\right)^{2} \sin^{2} \frac{\theta}{2}}\)

d'où

\(\frac{1}{\sin^{2} \frac{\theta}{2}} = 1 + \left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0} c^{2}}\right)^{2} \tan^{2} \varphi\)

La substitution de cette expérience dans celle de \(T\) fournit le résultat :

\(T = \frac{h \nu_{0}}{1 + \frac{m_{0} c^{2}}{2h \nu_{0}} \left[1 + \left(1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\right)^{2} \tan^{2} \varphi\right]}\)

\(T = \frac{2\frac{h^{2} \nu_{0}^{2}}{m_{0}c^{2}}\cos^{2} \varphi}{1 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2}}\left(2 + \frac{h \nu_{0}}{m_{0}c^{2} }\sin^{2} \varphi\right)}\)

( après utilisation de la relation trigonométrique : \(1/\cos^{2}\varphi = 1 + \tan^{2}\varphi\) )