Dérivées - Différentielles

\(\omega_1=g(y)\omega=(1-\frac{1}{xy})dx+\frac{1}{y^2}(1+\ln x)dy=dU=\frac{\delta U}{\delta x}dx+\frac{\delta U}{\delta y}dy\)

Par identification \(\color{blue}\frac{\delta U}{\delta x}=1-\frac{1}{xy}~~\color{red}\textrm{(2 points)}\) intégrons \(\color{blue}U(x,y)=x-\frac{1}{y}\ln x+\varphi(y)~~\color{red}\textrm{(2 points)}\) d'où, en dérivant par rapport à \(y\) et en identifiant à :

\(\frac{1+\ln x}{y^2}=\varphi'(y)+\frac{\ln x}{y^2}\)

d'où

\(\color{blue}\varphi'(y)=\frac{1}{y^2}\Rightarrow\varphi(y)=-\frac{1}{y}+C~~\color{red}\textrm{(2 + 2 points)}\)

et

\(\color{blue}U(x,y)=\frac{xy-\ln x-1}{y}+C~~\color{red}\textrm{(2 points)}\)