Question 1
Durée : 5 mn
Note maximale : 6
Question
Quand un rayon lumineux tombe sous une incidence \(i\) sur un prisme d'angle \(A\) et d'indice \(n,\) il est dévié d'un angle \(D.\) Les formules du prisme constituent quatre relations entre sept variables, trois variables seront choisies comme variables indépendantes. Nous définirons la déviation par \(D = D (A, n, i).\)
Calculer la dérivée partielle \(\frac{\delta D}{\delta A}\)
\(\sin i = n\sin r~~~~~\color{blue}(1)\\\color{black}\sin i' = n\sin r' ~~\color{blue}(2)\\\color{black}r+r'=A~~~~~~~~~~\color{blue}(3)\\\color{black}D=i+i'-A~~~~\color{blue}(4)\)
\(n,\) indice du prisme
Solution
Si \(D = D (A, n, i)\) alors \(dD=\frac{\delta D}{\delta A}dA+\frac{\delta D}{\delta n}dn+\frac{\delta D}{\delta i}di\)
En différenciant les relations \((2),\) \((3)\) et \((4)\) sachant que \(i,\) \(n\) et donc \(r\) constants :
\(\color{blue}\begin{array}{c c}\cos i'di'=n\cos r'dr'&\color{red}\textrm{(1 point)} \\dr'=dA&\color{red}\textrm{(1 point)}\\dD=di-dA&\color{red}\textrm{(1 point)}\end{array}\)
d'où l'on tire
\(\color{blue}\frac{\delta D}{\delta A}=\frac{n\cos r'}{\cos i'}-1~~\color{red}\textrm{(3 points)}\)
\(\sin i = n\sin r~~~~~\color{blue}(1)\\\color{black}\sin i' = n\sin r' ~~\color{blue}(2)\\\color{black}r+r'=A~~~~~~~~~~\color{blue}(3)\\\color{black}D=i+i'-A~~~~\color{blue}(4)\)
\(n,\) indice du prisme