Équations différentielles du 1er ordre

Résolution de l'équation homogène: \(y'_H + y_H \sin x = 0\)

\(\frac{dy_H}{dx}=-y_H\sin x\Rightarrow \frac{dy_H}{y_H}=-\sin xdx\)

qui donne : \(\color{blue}\ln |y_H| = \cos x + C ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

ou \(|y_H| = e^C e^{\cos x}\)

soit \(|y_H| = \pm e^C e^{\cos x}\)

\(\Rightarrow \color{blue} y_H = Ke^{\cos x} ~~\color{red}\text{(4 points)}~~\color{black} K\text{ constante }\in\mathbb R\)

Recherche de la solution particulière avec la méthode de "variation" de la constante :

On considère que \(K\) est une fonction de la variable \(x\)

\(\color{blue}y_p=K(x)e^{\cos x} ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

\(\color{blue}\frac{dy_p}{dx}=K'(x)e^{\cos x}-K(x)\sin xe^{\cos x}~~\color{red}\text{(2 points)}\)

en portant dans l'équation complète :

\(K'(x) e^{\cos x} - K(x) \sin x e^{\cos x} + K(x) \sin x e^{\cos x} = \sin x \cos x\)

\(\color{blue}K'(x) e^{\cos x} = \sin x \cos x e^{-\cos x} ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

en intégrant par parties :

posons \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin x dx\)

et \(dv = \sin x e^{-\cos x} dx \Rightarrow v = e^{-\cos x}\)

d'où

\(\color{blue}K(x)\color{black}=\cos xe^{-\cos x}-\int-\sin x e^{-\cos x}dx\\=\cos xe^{-\cos x}+e^{-\cos x}\)

\(=\color{blue} (\cos x + 1 ) e^{-\cos x} ~~\color{red}\text{(4 points)}\)

la solution particulière est donc : \(\color{blue}y_p = K(x) e^{\cos x} = \cos x + 1 ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

la solution générale est :

\(\color{blue}y = y_H + y_p = K e^{\cos x} + \cos x + 1 ~~\color{red}\text{(2 points)}\)