Équations différentielles du 2ème ordre

L'équation caractéristique est : \(r^{2} + 4r + 4 = (r + 2)^{2} = 0\),

donc \(\color{blue} r = -2~\textrm{est racine double}~\color{red}( 2~\textrm{points} )\) et la solution générale est : \(\color{blue} y_{H} = (K_{1} x +K_{2}) e^{-2x} \color{red} ( 2~\textrm{points} )\).

Cherchons la solution particulière sous la forme : \(y_{p} (x) = e^{-2x} z(x)\)

d'où

• \(y 'p(x) = \Big( z '(x) - 2 z(x) \Big) e^{-2x}\)

• \(y ''p(x) = \Big( 4z(x) - 4z'(x) + z ''(x) \Big) e^{-2x}\)

En remplaçant dans l'équation complète, nous obtenons :

\(\begin{array}{l l} & e^{-2x} \Big( z ''(x) - 4 z '(x) + 4 z(x) + 4 z '(x) - 8 z(x) + 4 z(x) \Big) \\= & e^{-2x} \left(\frac{1}{x} + 2x + 3 \right) \end{array}\),

d'où \(\color{blue} z ''(x) = \frac{1}{x} + 2x + 3\quad\color{red} ( 4~\textrm{points})\).

Par intégration : \(\color{blue} z '(x) = \ln{|x|} + x^{2} + 3x \quad \color{red}( 4~\textrm{points} )\)

Une seconde intégration conduit à: \(z(x) = \int \ln{|x|} \textrm{d}x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x^{2}\).

La primitive de \(\ln{|x|}\) s'obtient par une intégration par parties, et donne:

\(\int \ln{|x|}~\textrm{d}x = x \Big( \ln{|x|} - 1 \Big)\),

d'où la solution particulière \(\color{blue} y_{p} = \left[ x \Big( \ln{|x|} -1 \Big) +\frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x^{2} \right] e^{-2x} \quad \color{red} ( 6~\textrm{points} )\)

et la solution générale: \(\color{blue} y = \left( K_{1} x + K_{2} + x \Big( \ln{|x|} - 1\Big) +\frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2} x^{2} \right) e^{-2x} \quad \color{red}( 2~\textrm{points} )\)