Utilisation des nombres complexes

Au lieu de repérer un point du plan en définissant le vecteur joignant ce point à l'origine, comme dans la construction de Fresnel, on peut le repérer par un nombre complexe \(\underline Z = a + jb =\rho.\textrm{e}^{j\theta}\) ; la première notation est l'équivalent, en notation complexe, des coordonnées cartésiennes, la seconde l'équivalent des coordonnées polaires. De même que dans la construction de Fresnel, la tension est égale à la projection du vecteur sur l'axe de référence, ici la tension est égale à la partie réelle du nombre complexe qui la représente.

ExempleExemple :

Une tension \(u(t) = U_m\cos (\omega t + \varphi)\) sera représentée par un nombre complexe :

\(\displaystyle{\underline u(t)=U_m\textrm{e}^{j(\omega t+\varphi)}=U_m\textrm{e}^{j\omega t}\textrm{e}^{j\varphi}}\)

comme : \(\displaystyle{\textrm{e}^{j\theta} = \cos \theta + j.\sin \theta}\)

Si on pose : \(\theta = (\omega t +\varphi)\)

On a bien : \(u(t)=R(\underline u(t)) ;R(\underline u(t))\) est la partie réelle de \(\underline u(t)\)

On peut aussi écrire :

\(\displaystyle{\underline U(t)=\underline{U_m}\textrm{e}^{j\omega t}}\)

\(\displaystyle{\underline{U_m}=U_m\textrm{e}^{\varphi}}\) est appelé "amplitude complexe" de la tension\(U(t)\)