Calcul d'une somme de deux fonctions sinusoïdales (3)
Durée : 10 mn
Note maximale : 4
Question
Deux tensions sinusoïdales ont même pulsation, des amplitudes différentes et des phases à l'origine \((t=0)\) différentes :
\(u_1(t) = 2 \sqrt{2} . \cos (3t)\) et \(\displaystyle{ u_2(t) = 3 . \cos \left(3t + \frac{\pi}{4} \right) }\)
Donner l'expression de la tension \(u(t)=u_1(t)+u_2(t)\) en la mettant sous la forme \(U_m . \cos (3t + \varphi)\)
Solution
Développer \(u_2(t)\)
\(\displaystyle{ u_2(t)=4 \cos(3t) . \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) - 4 \sin(3t) . \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) }\)
\(\displaystyle{ u_2(t)=4 \sqrt{2} . \frac{\cos(3t) - \sin(3t)}{2} }\)
\(\displaystyle{ u(t) = 2 \sqrt{2} . \cos (3t) + 2 \sqrt{2} . (\cos(3t) - \sin(3t) ) = 4 \sqrt{2} . \left(\cos(3t) - \frac{\sin(3t)}{2} \right) }\)
On pose \(\displaystyle{ \tan\varphi=\frac{1}{2} }\) \(\Rightarrow \varphi \approx \mathrm{0,464 radians}\), ainsi on a :
\(\displaystyle{ u(t) = 4 \sqrt{2} . \cos(3t) + 2 \sqrt{2} . \frac{\cos(3t) . \cos\varphi - \sin(3t). \sin\varphi}{\cos \varphi} = 4 \sqrt{2} . \frac{\cos(3t + \varphi)}{\cos \varphi} }\) (4 pts)