Résonance

1) en fonction de  \( R,L,\omega\) : \(\displaystyle{R'=R+\frac{L^2\omega^2}{R},L'=L+\frac{R^2}{L\omega^2}}\) en fonction de \(R, L, Q\) :

\(\displaystyle{R' = R( 1 + Q^2);\; L' = L( 1 +1/{Q^2});\; \textrm{ pour } Q\gg1,\;R'\approx Q^2R,\; L'\approx L}\)

2) \(\displaystyle{F_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}\) Application numérique : \(F_0 = 93,2 \textrm{ kHz}\)

3) \(\displaystyle{F'_0\approx F_0;\;I_{\textrm{min}}=Q^2\frac{U}{R}} ;\)

Application numérique : \(\displaystyle{I_{\textrm{min}} = 4,1 \textrm{ mA}}\)

1. Si les deux schémas sont équivalents , leurs impédances complexes sont identiques :

soient \(\underline Y_s\) l'admittance complexe du dipôle série, \(\underline Y_p\) celle du dipôle parallèle ;

en identifiant les parties réelles, il vient : \(\displaystyle{R.R' = L.L'.\omega^2}\) (1)

et, pour les parties imaginaires : \(\displaystyle{L'.R' = L.R' + L'.R}\) (2)

de \((1)\) on tire \(\displaystyle{L'=L\frac{R'}{R'-R}}\) (3) qui , reporté dans \((2)\), donne : \(\displaystyle{R'=R+\frac{L^2\omega^2}{R}}\) ; finalement, en reportant cette expression dans \((3)\) : \(\displaystyle{L'=L+\frac{R^2}{L\omega^2}}\)

En fonction de \(\displaystyle{R, L,Q=\frac{L\omega}{R}}\)

En mettant en facteur \(R\) dans l'expression de \(R'\), il vient : \(\displaystyle{R' = R(1 + Q^2)}\)

En mettant en facteur \(L\) dans l'expression de \(L'\), il vient : \(\displaystyle{L' = L(1 + 1/Q^2)}\) ;

Pour \(Q\gg1\) , on peut négliger \(1\) devant \(Q^2\), et considérer \(1/Q^2\) comme négligeable ; d'où : \(\displaystyle{R'\approx Q^2R,\; L'\approx L}\)

2. Les admittances complexes des deux branches ont pour expressions :

L'admittance complexe de l'ensemble est donnée par leur somme :

d'où l'admittance : \(\displaystyle{Y=\Big|C\omega-\frac{1}{L\omega}\Big|=\frac{|LC\omega^2|}{L\omega}}\) qui s'annule pour \(\displaystyle{LC\omega^2 = 1}\),donc pour la fréquence \(\displaystyle{F_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}\) ; à cette fréquence, l'intensité du courant à travers le dipôle \(LC\) parallèle est donc nulle.

Application numérique : \(\displaystyle{F_0=93,2\textrm{ kHz}}\)

3) Au voisinage de\(F_0\), \(\displaystyle{Q=\frac{L\omega}{R}\approx195\gg1}\) ; d'où : \(\displaystyle{R'\approx Q^2R\approx 5850 \;\Omega , L'\approx L}\) . En remplaçant la bobine par le schéma parallèle équivalent, on obtient le schéma ci-contre :

Les admittances complexes des trois branches ont pour expressions :

L'admittance complexe de l'ensemble est donnée par leur somme :

le déphasage de la tension \(u(t)\) aux bornes du circuit par rapport à l'intensité \(i(t)\) du courant est : \(\displaystyle{\varphi=\textrm{Arctg}\frac{1-LC\omega^2}{R'C\omega}}\) et l'admittance du dipôle s'écrit :

\(\displaystyle{Y=\sqrt{\frac{1}{R'^2}+\Big(C\omega-\frac{1}{L\omega}\Big)^2}=\frac{1}{QR}\sqrt{1+L^2C^2(\omega^2-\omega_0^2)^2}}\)

En négligeant les variations de \(Q\) autour de \(F_0\), quand la relation , quand la relation \(\displaystyle{\omega^2=\omega_0^2}\) est vérifiée, l'admittance \(Y\) est minimale, ce qui signifie que l'intensité du courant total dans le diviseur de courant est minimale et vaut \(\displaystyle{I_{\textrm{min}} = Y_{\textrm{min}}.U = U/R'^2}\).

Le courant et la tension sont alors en phase. D'où :\(\displaystyle{F'_0\approx F_0;\;I_{\textrm{min}}=Q^2\frac{U}{R}}.\) 

Application numérique : \(\displaystyle{I_{\textrm{min}} = 4,1 \textrm{ mA}}\)