Introduction

L'objet de cette ressource est de proposer des exercices relatifs à l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant comme des oscillateurs libres et décrits par le modèle de l'oscillateur harmonique.

Prérequis indispensables :

  • Savoir définir un système physique oscillant.

  • Connaître le modèle de l'oscillateur harmonique.

  • Savoir résoudre les équations différentielles du second ordre, linéaires, à coefficients constants, sans second membre.

Objectifs :

  • Savoir mettre en équation divers systèmes physiques oscillants.

  • Savoir appliquer le modèle de l'oscillateur harmonique à l'étude de tels systèmes.

  • Savoir déterminer et interpréter les réponses de ces systèmes, en tenant compte des paramètres caractéristiques et des conditions initiales, et cela pour des excitations diverses.

  • Savoir étudier l'énergie de tels systèmes.

Temps de travail prévu : 100 minutes

Ce qu'il faut savoir :

Dans l'étude des systèmes oscillants harmoniques libres à un degré de liberté, la grandeur physique décrivant l'évolution d'un système est une fonction du temps. Elle est notée \(q(t)\) ; \(q\) peut représenter une position, une intensité, une différence de potentiel, etc.

Cette grandeur satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

Dans le cas des oscillations libres non amorties, l'équation différentielle s'écrit sous la forme réduite :

\(\frac{d^2q}{dt^2}+\omega_0^2q=0\) ou \(q"+\omega^2_0q=0\)

où \(\omega_0\) est la pulsation propre du système.

Le discriminant réduit de l'équation caractéristique associée est strictement négatif \((\Delta'=-4\omega^2_0)\), la solution générale de cette équation peut s'écrire sous l'une des formes équivalentes :

\(q(t)=C\cos\omega_0t+D\sin\omega_0t\)

\(q(t)=q_m\cos(\omega_0t+\varphi)\) ou \(q(t)=q_m\sin(\omega_0t+\psi)\)

Justification :

Ces résultats se déduisent de la résolution de l'équation différentielle de type \(ay"+by'+cy=0\) en remarquant que l'équation "physique" \(q"+\omega_0^2q=0\) est une équation de ce type, de coefficents \(a=1, b=0,c=\omega_0^2, y(x)\) correspondant à \(q(t)\).

On vérifie bien que le discriminant réduit \(\Delta'=\frac\Delta4=\frac{b^2-4ac}4=-\omega^2_0\) est négatif.

Le régime est sinusoïdal pur. Les constantes \((C,D), (q_m,\varphi)\) ou \((q_m,\psi)\) et l'énergie totale sont déterminées en utilisant les conditions initiales du problème physique :

\(q(t=0)=q_0\) et \(q'(t=0)=q'_0\).

L'énergie totale d'un oscillateur harmonique non amorti (mécanique, électrique, ...) est constante.