Introduction
L'objet de cette ressource est de proposer des exercices relatifs à l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant comme des oscillateurs libres amortis et décrits par le modèle de l'oscillateur harmonique amorti.
Prérequis indispensables :
Savoir définir un système physique oscillant.
Connaître le modèle de l'oscillateur harmonique amorti.
Savoir résoudre les équations différentielles du second ordre, linéaires, à coefficients constants, sans second membre.
Objectifs :
Savoir mettre en équation divers systèmes physiques oscillants.
Savoir appliquer le modèle de l'oscillateur harmonique amorti à l'étude de tels systèmes.
Savoir déterminer et interpréter les réponses de ces systèmes, en tenant compte des paramètres caractéristiques et des conditions initiales, et cela pour des excitations diverses.
Savoir étudier l'énergie de tels systèmes.
Temps de travail prévu : 150 minutes
Dans l'étude des systèmes oscillants harmoniques libres à un degré de liberté, la grandeur physique décrivant l'évolution d'un système est une fonction du temps. Elle est notée \(q(t)\), \(q\) peut représenter une position, une intensité, une différence de potentiel, etc.
Cette grandeur satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.
Dans le cas des oscillations libres amorties, l'équation différentielle s'écrit sous la forme réduite :
\(\frac{\textrm{d}^{2}q}{\textrm{d}t^{2}} + 2 \lambda \frac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t} + \omega_{0}^{2} q = 0\) ou \(q'' + 2 \lambda q' + \omega_{0}^{2} q = 0\)
où \(\lambda\) désigne le coefficient d'amortissement et\( \omega_{0}\) la pulsation propre de l'oscillateur (la notation \(\alpha\) est quelquefois utilisée à la place de \(\lambda\)).
Le discriminant réduit de l'équation caractéristique associée \((r^{2} + 2 \lambda r + \omega_{0}^{2} = 0)\) peut être positif, nul ou négatif. La solution \(q(t)\) et le régime oscillatoire prennent les différentes formes :
Discriminant réduit \(\Delta'=\lambda^2-\omega^2_0\) | Forme de la solution | Régime |
\(\Delta' > 0\) : racines réelles \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}r_{1} = - \lambda + \sqrt{\Delta ' }\\r_{2} = - \lambda - \sqrt{\Delta ' }\end{array}\right.}\) | \(q = e^{-\lambda t}(A ~e^{\sqrt{\Delta '}~ t } + B ~e^{-\sqrt{\Delta '}~ t })\) | apériodique \(\lambda > \omega_{0}\) |
\(\Delta ' = 0\) : racine double \(r_ {0} = - \lambda\) | \(q = e^{- \lambda t}(A_{c} t + B_{c})\) | critique \(\lambda = \omega_{0}\) |
\(\Delta ' <0\) : racines complexes conjuguées \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}r_{1} = - \lambda + j \omega_{1}\\r_{2} = - \lambda - j \omega_{1}\end{array}\right.}\) avec \(\omega_{1} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}}\) (\(\omega_{1}\) pseudo-pulsation) | \(q=e^{- \lambda t} ( C \cos \omega_{1} t + D \sin \omega_{1} t)\) ou \(q = q_{m} e^{-\lambda t} \cos(\omega_{1} t + \varphi )\) \(q = q_{m} e^{- \lambda t} \sin (\omega_{1} t + \psi)\) | pseudo-périodique (sinusoïdal amorti) \(\lambda < \omega_{0}\) |
Justification
Ces résultats se déduisent de la résolution de l'équation différentielle de type \(ay'' + by' + cy = 0\) (cf. la ressource « Equations différentielles linéaires du 1er et du 2nd ordre à coefficients constants ») en remarquant que l'équation « physique » \(q'' + 2 \lambda q' + \omega_{0}^{2} q = 0\) est une équation de ce type, de coefficients \(a = 1, b = 2 \lambda, c= \omega_{0}^{2}\), \(y(x)\) correspondant à \(q(t).\)
Le discriminant réduit s'écrit bien : \(\Delta ' = \frac{\Delta}{4} = \frac{b^{2} - 4 ac}{4} = \lambda^{2} - \omega_{0}^{2}.\)
Les constantes \((A,B), (A_{c},B_{c}), (C,D), (q_{m},\varphi)\) ou \((q_{m}, \psi)\) sont déterminées en utilisant les conditions initiales du problème physique : \(q(t=0)=q_{0}\) et \(q'(t=0)=q'_{0}.\)
L'énergie totale de l'oscillateur harmonique amorti décroît au cours du temps.
Un oscillateur harmonique amorti est caractérisé par le facteur de qualité :
\(Q = \frac{\omega_{0}}{2 \lambda} = \omega_{0} \tau_{r}\) (en posant \(\tau_{r} = \frac{1}{2 \lambda}\))
Dans le cas du régime pseudo-périodique \(( \lambda <\omega_{0}),\) la réponse de l'oscillateur est caractérisée par la pseudo-période \(T_{1}\) et le décrément logarithmique \(\delta.\)