Oscillateur harmonique forcé, oscillations forcées

L'objet de cette ressource est de proposer des exercices relatifs à l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant comme des oscillateurs forcés et décrits en particulier par le modèle de l'oscillateur harmonique forcé lorsque l'excitation est harmonique.

Prérequis indispensables :

• Savoir définir un système physique oscillant.

• Connaître les modèles de l'oscillateur harmonique, de l'oscillateur harmonique amorti et de l'oscillateur harmonique forcé.

• Savoir résoudre les équations différentielles du second ordre, linéaires, à coefficients constants, avec second membre. Savoir utiliser la méthode de la représentation complexe.

Objectifs :

• Savoir mettre en équation divers systèmes physiques oscillants.

• Savoir déterminer et interpréter les réponses de ces systèmes, en tenant compte des paramètres caractéristiques et des conditions initiales, et cela pour des excitations diverses.

• Savoir différencier les régimes transitoire forcé et permanent.

• Lorsque l'excitation est harmonique : savoir appliquer le modèle de l'oscillateur harmonique forcé à l'étude des systèmes, savoir étudier les phénomènes de résonance, savoir étudier l'énergie de tels systèmes.

Temps de travail prévu : 190 minutes

Ce qu'il faut savoir :

Dans l'étude des systèmes oscillants harmoniques forcés à un degré de liberté, la grandeur physique décrivant l'évolution d'un système est une fonction du temps. Elle est notée \(q(t)\), \(q\) peut représenter une position, une intensité, une différence de potentiel, etc.

Cette grandeur satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, avec second membre.

Dans le cas des oscillations forcées, l'oscillateur amorti étant soumis à une excitation extérieure \(f(t)\), l'équation différentielle s'écrit sous la forme réduite :

\(\frac{d^2q}{dt^2}+2\lambda\frac{dq}{dt}+\omega^2_0q=h(t)\) ou \(q"+2\lambda q'+\omega^2_0q=h(t)\)

où \(\lambda\) désigne le coefficient d'amortissement et \(\omega_0\) est la pulsation propre de l'oscillateur.

L'expression du second membre \(h(t)\) dépend du type de l'oscillateur et du type et de la forme de l'excitation considérés (oscillateur mécanique, électrique... ; excitation en force, en déplacement, en tension ou en courant, par de la lumière ; excitation de forme sinusoïdale, en échelon, en impulsions,...) L'expression de \(h(t)\) diffère de celle de \(f(t)\) : \(h(t)\) s'exprime simplement en fonction de \(f(t)\).

La solution générale \(q(t)\) de l'équation différentielle est égale à la somme de la solution générale \(q_g(t)\) de l'équation sans second membre (ESSM) et d'une solution particulière \(q_p(t)\) de l'équation complète (EASM), (cf. la ressource « Équations différentielles linéaires du 1er et 2nd ordre à coefficients constants ») :

\(q(t)=q_g(t)+q_p(t)\)

La solution générale \(q_g(t)\) de l'ESSM a été étudiée dans la ressource concernant les oscillations libres amorties : suivant la valeur du discriminant de l'équation caractéristique, elle décrit un des trois régimes possibles.

La solution particulière de l'EASM \(q_p(t)\) est déterminée ici dans les deux cas suivants :

• l'excitation est uniforme (échelon), le second membre est constant, la solution \(q_p(t)\) est alors égale à une constante :

  \(h(t)=H\Rightarrow q_p(t)=\frac H{\omega^2_0}\)

• l'excitation est sinusoïdale de pulsation \(\Omega\) : \(f(t)=F_m\cos\Omega t\), le second membre est sinusoïdal de même pulsation \(h(t)=H_m\cos\Omega t\).

  • Si \(j\Omega\) n'est pas une racine de l'équation caractéristique, la solution \(q_p(t)\) est une fonction sinusoïdale de même pulsation \(\Omega\) :

    \(q_p(t)=q_{p,m}\cos(\Omega t+\Phi_p)\)

    L'amplitude et la phase initiale de \(q_p(t)\) sont déterminées de façon à satisfaire à l'équation complète :

    • soit par identification des termes en sinus et en cosinus,

    • soit, à partir de l'expression complexe de l'EASM.

  • Si \(j\Omega\) est racine de l'équation caractéristique la solution \(q_p(t)\) est de la forme :

    \(q_p(t)=t~q_{p,m}\cos(\Omega t+\Phi_p)\)

  Remarque : suivant le type de la variable représentée par \(q(t)\) (exemple : intensité dans un circuit série \(RLC\), ou si \(f(t)=F_m\cos(\Omega t+\varphi_e)\), il peut apparaître une phase initiale différente de 0 dans l'expression de \(h(t)\).

Les constantes intervenant dans l'expression de \(q_g(t)\), sont déterminées à l'aide des deux conditions initiales (\(q(t=0)=q_0\) et \(q'(t=0)=q'_0\)) appliquées à l'expression complète de \(q(t)\).

Régime transitoire, régime permanent et énergie

• L'oscillateur évolue suivant la loi : \(q(t)=q_g(t)+q_p(t)\).

• L'oscillateur étant amorti, la solution générale de l'ESSM, \(q_g(t)\) comprend le facteur d'amortissement \(e^{-\lambda t}\) et donc décroît en fonction du temps.

  • La phase durant laquelle \(q_g(t)\) n'est pas négligeable par rapport à \(q_p(t)\) est appelée régime transitoire et au cours de ce régime \(q(t)=q_g(t)+q_p(t)\).

  • La phase ultérieure, durant laquelle \(q_g(t) \ll q_p(t)\) et donc \(q(t)\approx q_p(t)\), est dénommée régime permanent.

• Bien souvent l'étude des oscillations forcées n'est faite qu'en régime permanent.

• Énergie : en régime permanent, au cours d'une pseudo-période, l'énergie fournie par le dispositif d'excitation à l'oscillateur compense exactement l'énergie dissipée par celui-ci.

Résonance

• Dans le cas d'une excitation sinusoïdale, l'amplitude des oscillations \(q_{p,m}\) en régime permanent, est fonction de la pulsation \(\Omega\) de l'excitation. Lorsque la pulsation (ou la fréquence) de l'excitation varie, le graphe de la fonction \(q_{p,m}(\Omega)\) présente « un pic de résonance », pour la valeur \(\Omega=\Omega_r=\sqrt{\omega^2_0-2\lambda^2}\) appelée pulsation de résonance, à la condition que les caractéristiques de l'oscillateur soient telles que \(\lambda<\frac{\omega_0}{\sqrt2}\).

  Dans le cas d'un oscillateur mécanique cette résonance est une résonance en amplitude.

  Dans le cas d'un oscillateur électrique la résonance est une résonance en tension, par exemple la tension mesurée aux bornes du condensateur d'un circuit série \((R, L, C)\).

• Il existe d'autres types de résonance : résonance de vitesse d'un oscillateur mécanique, résonance en intensité d'un oscillateur électrique, résonance en énergie. Ces résonances se produisent pour une pulsation de résonance égale à la pulsation propre de l'oscillateur, soit \(\Omega_r=\omega_0\).