Circuit LR
Durée : 6 mn
Note maximale : 4
Question
Montrer que, dans le circuit ci-dessus, les tensions d'entrée \(e(t)\) et de sortie \(s(t)\) sont liées par une équation du type :
\(\displaystyle{ \tau . \frac{ \mathrm{d} s }{ \mathrm{d} t } + s(t) = e(t) }\) ,
où \(\tau\) est la constante de temps du circuit.
Comment appelle-t-on ce type de circuit ?
Exprimer \(\tau\) en fonction des valeurs des composants du circuit.
L’inductance de la bobine est \(L = 200 \mathrm{ mH}\). Calculer \(R\) sachant que \(\tau = 50 \mathrm{ µs}\).
Solution
Les deux bobines en parallèle sont équivalentes à une bobine unique d’inductance \(\displaystyle{ \frac{L}{2} }\).
Soit \(i(t)\) l’intensité du courant entrant dans le montage. La loi d’additivité des tensions donne :
\(\displaystyle{ e(t) = \frac{L}{2} . \frac{ \mathrm{d} i }{ \mathrm{d} t } + s(t) }\)
Comme la loi d’Ohm appliquée à la sortie donne \(s(t) = R . i(t)\), il vient \(\displaystyle{ i(t) = \frac{s(t)}{R} }\), et : \(\displaystyle{ e(t) = \frac{L}{2} . \frac{ \mathrm{d} s }{ \mathrm{d} t } + s(t) }\)
qui est l’équation d’un circuit du premier ordre de constante de temps \(\displaystyle{ \tau = \frac{L}{2 . R} }\) . (3 pts)
Application numérique :
\(\displaystyle{ R = \frac{L}{2 . \tau} = \frac{200 . 10^{-3}}{2 * 50 . 10^{-6}} = 2 \mathrm{ k} \Omega}\). (1 pt)