Circuits du premier ordre

Etude du régime permanent avant la fermeture :

dans la maille de gauche, \(\displaystyle{ i_1 = \frac{E_1}{2 . R} = \mathrm{0,12 A} }\). (1 pt)

dans la maille de droite , puisque le courant est constant, la tension \(\displaystyle{ L . \frac{ \mathrm{d} i_2 }{ \mathrm{d} t } }\) aux bornes de la bobine est nulle, et \(\displaystyle{ i_2 = \frac{E_2}{R} = \mathrm{0,15 A} }\). (1 pt)

Quand on ferme l'interrupteur (schéma ci-dessus) :

• d'après la loi aux nœuds : \(i_1 + i_2 = i_3 + i_4\)

• dans la maille de gauche : \(R . (i_1 + i_4) = E_1\)

• dans la maille de droite :  \(\displaystyle{ R . i_2 + L . \frac{ \mathrm{d} i_3 }{ \mathrm{d} t } = E_2}\)

• entre les deux nœuds : \(\displaystyle{ R . i_4 = L . \frac{ \mathrm{d} i_3 }{ \mathrm{d} t } }\) (2 pts)

Donc :

\(\displaystyle{ i_4 = \frac{L}{R} . \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} }\) ;

\(\displaystyle{ i_1 = \frac{E_1}{R} - i_4 = \frac{E_1}{R} - \frac{L}{R} . \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} }\) ;

\(\displaystyle{ i_2 = \frac{E_2}{R} - \frac{L}{R} . \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} }\) ;

et \(\displaystyle{ i_1 + i_2 = i_3 + i_4 \Leftrightarrow \frac{E_1}{R} - \frac{L}{R} . \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} + \frac{E_2}{R} - \frac{L}{R} . \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} = i_3 + \frac{L}{R} . \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} }\)

finalement : \(\displaystyle{ i_3 + 3 . \frac{L}{R} . \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} = \frac{E_1 + E_2}{R} }\)

Le circuit est donc un circuit du premier ordre de constante de temps \(\displaystyle{ \tau = 3 . \frac{L}{R} }\). Le courant à travers la bobine est donc de la forme :

\(\displaystyle{ i_3(t) = K . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + C }\)

où \(K\) et \(C\) sont deux constantes, la première dépendant des conditions initiales, la seconde parce que le second membre de l'équation différentielle est constant. (3 pts)

• Détermination de la solution particulière \(C\) :

  Le second membre de l'équation différentielle étant constant, on cherche une solution particulière \(i_3 = \mathrm{constante} = C\). Alors \(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} = 0 }\), donc \(\displaystyle{ i_3 = \frac{E_1 + E_2}{R} = C }\).

  D'où : \(\displaystyle{ i_3(t) = K . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + \frac{E_1 + E_2}{R} }\). (2 pts)

• Détermination de la constante \(K\) :

  L'intensité du courant dans une bobine varie de façon continue. Comme avant la fermeture de l'interrupteur il y avait un courant \(\displaystyle{ i_3 = i_2 = \frac{E_2}{R} }\), à \(t = 0\) on a \(\displaystyle{ i_3 = \frac{E_2}{R} }\).

  \(\displaystyle{ i_3(0) = K . \mathrm{e}^{-{0}/{\tau}} + \frac{E_1 + E_2}{R} = \frac{E_2}{R} }\) \(\displaystyle{ \Rightarrow K = - \frac{E_1}{R} }\)

  \(\displaystyle{ i_3(t) = - \frac{E_1}{R} . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + \frac{E_1 + E_2}{R} }\)

  L'intensité de la bobine varie de \(\displaystyle{ \frac{E_2}{R} }\) à \(\displaystyle{ \frac{E_1 + E_2}{R} }\). (3 pts)

La tension aux bornes de la bobine est \(\displaystyle{ u_B = L . \frac{\mathrm{d} i_3}{\mathrm{d} t} = \frac{E_1}{3 . L} . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} }\) pour \(t \ge 0\). La tension aux bornes de la bobine, qui était nulle en régime permanent, varie brusquement de \(0\) à \(\displaystyle{ \frac{E_1}{3 . L} }\) quand on ferme l'interrupteur, puis tend à nouveau vers \(0\). (2 pts)

• Application numérique :

  \(\displaystyle{ \tau = 3 . \frac{L}{R} = 6 \mathrm{ ms} }\) ;

  \(\displaystyle{ i_3(t) = - \mathrm{0,24} . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + \mathrm{0,39} }\) ;

  \(u_B = 40 . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}}\). (3 pts)