Développement du modèle de Bohr
Considérons un électron en mouvement circulaire uniforme autour du noyau de l'atome supposé fixe et pris comme origine du référentiel.
L'énergie totale \(\textrm E\) de cet électron est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Elle est constante au cours du temps, c'est une constante du mouvement. La stabilité de l'atome en dépend évidemment. L'énergie cinétique est liée à la vitesse et l'énergie potentielle est de type coulombienne. La charge de l'électron est \(-\textrm e\) et le noyau possède une charge positive \(+Z.\textrm e\). La masse de l'électron est \(\textrm m\), sa vitesse sur l'orbite est \(\textrm v\), et \(\textrm r\) est le rayon de cette dernière. Il vient alors :
\(\mathbf{E=\frac{1}{2}.m.\textrm v^2-\frac{Z.\textrm e^2}{4.\pi.\epsilon_0.r}}\)
Puisque l'électron est, pendant son mouvement, en équilibre sur une orbite stable, il y a donc l'égalité entre la force centripète, liée à l'accélération radiale que subit l'électron en déplacement uniformément accéléré sur son orbite circulaire, et la force de Coulomb.
\(\mathbf{F=\frac{m.\textrm v^2}{r}=\frac{Z.\textrm e^2}{4.\pi.\epsilon_0.r^2}}\)
En combinant ces deux expressions, on obtient :
\(\mathbf{m.\textrm v^2=\frac{Z.\textrm e^2}{4.\pi.\epsilon_0.r}} \textrm{et} \mathbf{E=-\frac{1}{2}.m.\textrm v^2=-\frac{1}{2}.\frac{Z.\textrm e^2}{4.\pi.\epsilon_0.r}}\)
Le moment cinétique angulaire est : \(\mathrm{L=m.\textrm v.r}\)
On peut éliminer \(\textrm r\) et \(\textrm v\) pour ne garder qu'une relation entre l'énergie totale et le moment cinétique :
en utilisant :
\(\mathbf{E=-\frac{1}{2}.m\textrm v^2=-\frac{L^2}{2.m.r^2}}\)
et
\(\mathbf{E=-\frac{1}{2}.\frac{Z.\textrm e^2}{4.\pi.\epsilon_0.r} \Longrightarrow r=-\frac{1}{2}.\frac{Z.\textrm e^2}{4.\pi.\epsilon_0.E}}\)
on obtient :
\(\mathbf{E=-\frac{2.(4.\pi.\epsilon_0)^2.L^2.E^2}{m.\textrm e^4.Z^2}}\)
soit :
\(\mathbf{E=-\frac{m.\textrm e^4}{(4.\pi.\epsilon_0)^2.L^2}.\frac{Z^2}{2}}\)
La dimension de la constante de Planck est celle d'une action (\(\textrm{énergie} \times \textrm{temps}\)). Dans le cas présent, l'action \(\textrm A\) est le produit de la quantité de mouvement par la longueur de l'orbite :
\(\mathbf{A=m.\textrm v \times 2.\pi.r=L \times 2.\pi}\)
Le modèle de Bohr peut s'exprimer sous la forme d'un postulat de quantification de l'action : l'action ne peut prendre que des valeurs multiples non nulles de la constante de Planck :
\(\mathbf{A=L \times 2.\pi=n.\textrm h}\)
en introduisant la constante réduite,
\(\mathbf{\hbar=\frac{\textrm h}{2.\pi}}\)
il vient alors :
\(\mathbf{L=n.\hbar}\)
et
\(\mathbf{E=-\frac{m.\textrm e^4}{(4.\pi.\epsilon_0.\hbar)^2}.\frac{Z^2}{2.n^2}}\)
L'énergie correspondant à des orbites stables est donc quantifiée.
Cette formule permet de retrouver le spectre expérimental d'émission de l'atome d'hydrogène. Le résultat de Bohr fut une avancée considérable dans l'établissement de la théorie quantique, bien qu'il ne présente qu'une juxtaposition d'une condition de quantification sur un modèle classique. En suggérant de distinguer, dans la notion de grandeur physique, le concept et les valeurs permises, il ouvrait la voie à une théorie formellement plus aboutie qui allait apparaître plus tard avec les travaux de Heisenberg et Schrödinger.