Développement sur une base
On peut aussi, connaissant \(\Psi\), connaître la probabilité d'obtenir une valeur propre particulière lors d'une mesure de \(\textrm G\). Il faut pour ce faire trouver le développement en combinaison linéaire de \(\Psi\) dans la base des fonctions propres \(\Psi_k\) de \(\mathrm{\hat G}\) :
\(\mathrm{\mathbf\Psi=\displaystyle{\sum_{k=1}}a_k.\Psi_k}\)
Si on injecte cette expression dans la valeur moyenne, on obtient :
\(\mathrm{\langle G\rangle=\int\Big(\displaystyle{\sum_{k=1}}a_k^*.\Psi_k^*\Big) \hat G \Big(\displaystyle{\sum_{l=1}}a_1.\Psi_1\Big)\textrm dV}\)
\(\mathrm{\langle G\rangle=\displaystyle{\sum_{k=1}\sum_{l=1}}a_k^*.a_1.\int\Psi_k^* \hat G \Psi_1 \textrm dV}\)
\(\mathrm{\langle G\rangle=\displaystyle{\sum_{k=1}\sum_{l=1}}a_k^*.a_1.g_1.\int\Psi_k^*\Psi_1 \textrm dV}\)
Compte tenu de l'orthonormalisation des fonctions propres de \(\mathrm{\hat G}\), on trouve alors :
\(\mathbf{\langle G\rangle=\displaystyle{\sum_{k=1}\sum_{l=1}}a_k^*.a_1.g_1.\delta_{kl}=\displaystyle{\sum_{k=1}}a_k^*.a_k.g_k}\)
qui s'apparente à une expression classique de valeur moyenne :
\(\mathbf{\langle G\rangle=\displaystyle{\sum_{k=1}}P(g_k).g_k} \textrm{avec} \mathbf{P(g_k)=a_k^*.a_k=\mid a_k\mid^2}\)
\(\mathrm{P(g_k)}\) est la probabilité de trouver \(\mathrm{g_k}\) dans l'état \(\Psi\).
La valeur moyenne quantique de la grandeur \(\mathrm{G}\) est la somme des valeurs possibles \(\mathrm{g_k}\) (valeurs propres) pondérées par les probabilités correspondantes \(\mathrm{P(g_k)}\).
Cette méthode de calcul de valeur moyenne est appelée : méthode de décomposition spectrale.