Chimie
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L'élément de volume en coordonnées sphériques

Dans le système cartésien, le volume élémentaire est :

Dans le système sphérique où , et sont les déplacements élémentaires suivant respectivement l'axe radial, la latitude et la longitude, il vaut :

Lors de l'intégration volumique, il est important de bien avoir à l'esprit que l'élément de volume dépend du système de coordonnées.

Cet élément de volume est défini comme un parallélépipède dont les arêtes mesurent les déplacements élémentaires obtenus lorsque l'on fait varier une seule des trois variables. Ainsi, dans le système cartésien, ces déplacements élémentaires sont respectivement , et . Dans le système de coordonnées sphériques, les choses sont plus subtiles.

La variation du rayon conduit à un déplacement élémentaire :

et l'angle de rotation étant fixes, la variation de l'angle d'écartement fait circuler le point M sur un cercle de rayon (comme si M se déplaçait sur un méridien). Le déplacement correspond donc à une abscisse curviligne :

Le déplacement élémentaire correspondant est donc :

De même, la variation de l'angle de rotation fait circuler M sur un cercle de rayon . Le déplacement élémentaire correspondant est :

Le volume élémentaire devient donc :

Il faut noter que dépend de et de l'angle d'écartement et n'est donc pas constant.

Ce volume élémentaire n'est pas le même dans les deux systèmes de coordonnées. On remarque notamment que le volume élémentaire en coordonnées sphériques augmente avec la distance à l'origine et il est nul sur l'axe (quand l'angle vaut 0 ou ).

Légende :
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