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Fonctions paires et impaires

On considère une fonction réelle dont on note l'ensemble de définition.

Définition

On dit que est paire (resp impaire) si :

Il est bien évident que la question d'une parité éventuelle ne se pose que si est symétrique par rapport à 0. On remarque que si est impaire et si appartient à alors .

Exercice : oui ou non

On considère l'ensemble des applications d'un intervalle centré en dans ; le sous ensemble des applications paires (resp. impaires) constitue-t-il un sous-espace vectoriel de ?

Oui ou non ?

Réponse : oui, car :

Soit par exemple , l'ensemble des fonctions paires définies sur , alors :

  • 0 (fonction nulle) appartient à qui n'est donc pas vide,

  • .

On montre de même que l'ensemble , des fonctions impaires sur est un sous espace vectoriel de .

Ces deux sous espaces vectoriels sont supplémentaires dans , on a en effet :

  • pour , on a, si on note les fonctions définies par :

    .

Exercice

Montrer que si est paire (resp. impaire), alors le graphe de est symétrique par rapport à l'axe (resp. le point ).

Solution :

La symétrie orthogonale d'axe transforme un point de coordonnées en de coordonnées ; ainsi, si la fonction est paire, le graphe de est invariant par . De même la symétrie centrale de centre transforme un point de coordonnées en de coordonnées , donc, si la fonction f est impaire, le graphe de f est invariant par .

Les propriétés de parité permettent donc de réduire l'étude de la fonction à l'ensemble ; on trace alors la partie du graphe correspondante et on complète par la symétrie ou suivant le cas.

Plus généralement s'il existe un réel tel que :

,

soit encore

,

le graphe de est symétrique par rapport à la droite d'équation .

De même s'il existe des réels tels que :

,

soit encore

le graphe de est symétrique par rapport au point de coordonnées . Dans ces deux cas on réduit l'étude à l'intervalle .

Légende :
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S'exercer
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