Mathématiques
Précédent
Suivant
Fonctions périodiques

On considère une fonction réelle dont on note l'ensemble de définition.

Définition : Fonction périodique

On dit que est périodique s'il existe un réel tel que :

  1. .

On dit que est une période de et que est -périodique.

Une conséquence immédiate de la définition est que si est -périodique alors - est aussi une période de .

Exemple

a. Une fonction constante sur est périodique ; tout réel non nul en est une période.

Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

b. La fonction est périodique, 1 est une période ainsi que tout entier non nul.

On conviendra désormais, pour une fonction périodique , de considérer également comme une période de .

Proposition

Si est périodique et si sont des périodes de , alors est une période de .

Preuve

Cela repose sur la définition.

On note l'ensemble des périodes de . Cet ensemble n'est, par hypothèse, pas vide puisque appartient à .

Soit , on a alors successivement

.

On en déduit .

est donc une période de . En particulier pour tout on a .

Si l'ensemble des périodes strictement positives de a un plus petit élément strictement positif, soit cet élément est appelé période fondamentale de .

Propriété

Toutes les périodes de sont de la forme avec .

Preuve

Elle repose sur la division euclidienne d'une période par la période fondamentale .

Soit une période, que l'on supposera strictement positive, de ; la division euclidienne de par conduit à l'égalité : .

Si est strictement positif, c'est une période strictement positive, inférieure strictement à , ce qui est impossible. On a donc .

Ainsi les fonctions sinus et cosinus ont pour période fondamentale et la fonction tangente . On désignera souvent par période la période fondamentale. Il peut se faire que n'ait pas de plus petit élément strictement positif, c'est le cas pour la fonction caractéristique des rationnels : dans ce cas tout rationnel est période.

Quelques exercices

a. Montrer que la fonction est périodique de période 1.

Solution :

Soit . Soit un nombre réel. On note sa partie entière, , c'est-à-dire que est l'unique nombre entier tel que . Alors l'entier vérifie , de sorte que . Il s'ensuit que .

On a donc : .

L'application est donc périodique de période 1.

b. Quelle est la période de la fonction ?

Solution :

La solution est .

c. Trouver une fonction de période .

Solution :

Une fonction est .

d. Montrer que, si la fonction est -périodique et si on note le graphe de la restriction de à un intervalle semi-ouvert de longueur , alors le graphe de est la réunion de et des translatés de par les translations de vecteurs de composantes .

Solution :

On note un intervalle semi-ouvert de longueur . Il s'agit alors d'une conséquence de la propriété suivante :

quel que soit le réel il existe un réel unique et un entier relatif unique tel que :

.

Si est le point de coordonnées et le point de coordonnées dans le repère orthonormé du plan , on a alors . D'où le résultat. Il suffit donc d'étudier sur un intervalle semi-ouvert de longueur .

Remarque

Soit une fonction telle qu'il existe vérifiant

alors le graphe de est invariant par les translations de vecteur .

Exemple

Considérons la fonction le graphe de s'obtient à partir de sa restriction à l'intervalle à l'aide de translations de vecteurs de composantes .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)