Famille de fonctions

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Soit f une combinaison linéaire des fonctions constantes, linéaires et \(\displaystyle{x\mapsto\sin~\left(\frac{\pi x}{2}\right)}\), c'est à dire qu'il existe trois réels \(\alpha,\beta, \gamma\) tels que :

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R,~f(x)=\alpha+\beta x+\gamma\sin~\left(\frac{\pi x}{2}\right)}\)

  1. A quelle(s) condition(s) sur \(\alpha, \beta\) et \(\gamma\), la fonction est-elle paire ? impaire ? bornée ? périodique ?

  2. Soit \(x_n\) une suite croissante à valeurs strictement positives et qui tend vers l'infini lorsque \(n\) tend vers l'infini. Calculer la limite de \(\displaystyle{\frac{f(x_n)}{x_n}}\) quand \(n\) tend vers l'infini.

  3. A quelles valeurs de \(\alpha,\beta\) et \(\gamma\) correspond le graphe ci-dessous ?

    Remarquer qu'il passe par les points \((x=0,y=1)\) et \((x=1,y=1)\) et \((x=2,y=-1)\).

Solution

  1. On utilise les mêmes notations que dans l'énoncé pour la fonction \(f\).

    • paire :

      pour tout \(x\) réel \(\displaystyle{f(x)=f(-x)~\Rightarrow~2\beta x=2\gamma\sin~\left(\frac{\pi x}{2}\right)}\)

      Donnant à \(x\) les valeurs \(2\) puis \(1\), on obtient que nécessairement \(\gamma=\beta=0\), condition qui est clairement suffisante.

    • impaire :

      Une condition nécessaire pour qu'une fonction soit impaire est qu'elle s'annule en \(0\) ce qui impose ici \(\alpha=0\). De plus, les fonctions linéaires et \(\sin\) sont impaires, leur somme l'est donc aussi et c'est donc une condition suffisante.

    • bornée :

      Les fonctions constantes et \(\sin\) sont bornées, la fonction \(f\) est donc bornée si et seulement si le coefficient de \(x\) est nul donc \(\beta=0\).

    • périodique :

      Montrons par l'absurde que si \(f\) est périodique, alors \(\beta=0\). En effet, si \(\beta\ne0\), \(f(x)\) tend vers l'infini quand \(x\) tend vers l'infini (voir question précédente). Si \(f\) est périodique de période \(T\), alors \(f(kT)\) tend également vers l'infini quand \(k\) tend vers l'infini, or \(f(kT)=f(0)\) qui est fini. Ceci est absurde, d'où \(f\) non périodique.

      Donc, il est nécessaire que \(\beta=0\) et c'est aussi une condition suffisante.

  2. On a, pour tout \(\displaystyle{n~~\frac{f(x_n)}{x_n}=\frac{\alpha}{x_n}+\beta+\frac{\gamma\sin~\left(\frac{\pi x_n}{2}\right)}{x_n}}\)

    Comme \(x_n\) tend vers \(+\infty\) et que la fonction \(\sin\) est bornée, on obtient

    \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x_n)}{x_n}=\beta}\)

  3. Comme \(f(0)=1\), on obtient \(\alpha=1\). De \(f(2)=-1\), on tire \(\beta=-1\), car \(\displaystyle{\sin~\left(\frac{2\pi}{2}\right)=0}\), le terme en facteur de \(\gamma\) disparait. On utilise enfin, \(f(1)=1\) et on en déduit que \(\gamma=1\).