Fonctions convexes
Durée : 4 mn
Note maximale : 4
Question
Montrer que la fonction \(f :]0,\pi[\rightarrow\mathbb R , x\rightarrow\ln(1+\cos x)\) est concave ; en déduire que :
\(\forall x\in]0, \pi[, \ln(1+\cos x)\le\frac{\pi}{2}-x\)
Solution
Démonstration
La fonction f est définie et deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0, \pi[\) et vérifie \(f''(x)=-\frac{1}{1+\cos(x)}, x\in]0,\pi[\).
La fonction est donc concave sur \(]0,\pi[\).
2pts
Le graphe est alors au dessus de ses tangentes , or la tangente au graphe au point \(\left(\frac{\pi}{2},0\right)\) a pour équation \(y=-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\) d’où l’inégalité demandée.
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