Fonctions convexes

Démonstration

Sans appliquer le théorème des fonctions réciproques qui sera vu ultérieurement, on remarque que \(f\) étant convexe sur \(I\) ouvert est continue sur \(I\).

L’image \(f (I)\) de \(I\) est un intervalle et \(f\), étant strictement décroissante, est injective donc bijective de \(I\) sur \(f (I)\). La fonction réciproque f^-1 existe donc et est strictement décroissante sur \(f (I)\).

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On a :

\(\forall y_1\in f(I)\exists x_1\in I : f(x_1)=y_1 \quad \forall y_2\in f(I)\exists x_2\in I : f(x_2)=y_2\)

On évalue, pour tout \(\lambda\in[0,1]\)

\(A=f^{-1}(\lambda y_1+(1-\lambda)y_2)=f^{-1}(\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2))\)

et

\(B=\lambda f^{-1}(y_1)+(1-\lambda)f^{-1}(y_2)=\lambda f^{-1}(f(x_1))+(1-\lambda)f^{-1}(f(x_2))=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\)

On a \(f(A)=\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\) et \(f(B)=f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\).

Puisque \(f\) est convexe \(f(B)\le f(A)\) et puisque f^-1 est décroissante \(B\ge A\) c’est à dire :

\(\forall y_1\in f(I), \forall y_2\in f(I), \forall\lambda\in[0,1]\lambda f^{-1}(y_1)+(1-\lambda)f^{-1}(y_2)\ge f^{-1}(\lambda f(y_1))+(1-\lambda)f(y_2))\)

ce qui traduit la convexité de f^-1.

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