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Existence de fonction réciproque
Le test comporte 3 questions :
Savoir si une fonction admet une fonction réciproque (1)
Savoir si une fonction admet une fonction réciproque (2)
Existence et détermination d'une application réciproque
La durée indicative du test est de 35 minutes.
Commencer
Savoir si une fonction admet une fonction réciproque (1)

Soit la fonction définie de la manière suivante :

Montrer que cette fonction admet une fonction réciproque définie sur un intervalle à déterminer.

Savoir si une fonction admet une fonction réciproque (2)

Soit la fonction définie de la manière suivante :

a. Montrer que est strictement croissante. (3 pts)

Calculer (1 pt)

b. Montrer que admet une fonction réciproque définie sur un intervalle à déterminer. (4 pts)

Montrer que est dérivable au point (1 pt)

Calculer (1 pt)

Existence et détermination d'une application réciproque

Soit la fonction définie par :

  1. Faire l'étude complète de et construire son graphe dans un repère orthonormé. (4 pts)

  2. Démontrer que définit une bijection d'un intervalle sur et déterminer sa bijection réciproque. (4 pts)

  3. Construire le graphe de dans le même repère que celui de (2 pts)

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Savoir si une fonction admet une fonction réciproque (1)

Rappel du théorème dit " des fonctions réciproques " que cet exercice se propose d'illustrer

Soit une fonction continue strictement monotone sur un intervalle Alors

1) est un intervalle de même nature que (fermé, ouvert ou semi ouvert) et ses extrémités sont les limites de aux extrémités de

2) La fonction admet une fonction réciproque définie sur ; plus précisément, définit une bijection de l'intervalle sur l'intervalle donc il existe une fonction notée dans telle que

3) La fonction réciproque est continue et strictement monotone sur de même sens de monotonie que

4) De plus, si est dérivable en un point de et si est non nul, est dérivable au point

(6 pts)

Soit On peut écrire d'où

Il est alors clair que est continue et strictement croissante.

Ces deux propriétés permettent d'affirmer que

Donc établit une bijection entre et Le théorème permet alors d'affirmer que admet une fonction réciproque définie et continue sur

(4 pts)

Si est élément de et élément de on a l'équivalence :

Donc, pour trouver on procède de la façon suivante :

étant donné un élément quelconque de on détermine un élément de tel que

Cette égalité équivaut à qui équivaut à

Ce qui permet de donner la fonction :

ATTENTION !

L'application au sens algèbrique du terme, c'est-à-dire le triplet n'admet pas une application réciproque au sens algèbrique puisque elle n'est pas surjective (l'image de n'est pas Bien relire les termes du thèorème des fonctions réciproques pour éviter les confusions.

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Savoir si une fonction admet une fonction réciproque (2)

Rappel du théorème dit " des fonctions réciproques " que cet exercice se propose d'illustrer

Soit une fonction continue strictement monotone sur un intervalle Alors

1) est un intervalle de même nature que (fermé, ouvert ou semi ouvert) et ses extrémités sont les limites de aux extrémités de

2) La fonction admet une fonction réciproque définie sur ; plus précisément, définit une bijection de l'intervalle sur l'intervalle donc il existe une fonction notée dans telle que

3) La fonction réciproque est continue et strictement monotone sur de même sens de monotonie que

4) De plus, si est dérivable en un point de et si est non nul, est dérivable au point

a. (3+1 pts) La fonction est dérivable en tout point intérieur à comme composée de fonctions dérivables. On a, tous calculs faits, Comme est supérieur ou égal à il est immédiat que est strictement positif. Ceci prouve que la fonction est strictement croissante

sur et que

De plus,

b. (4+1+1 pts) Donc admet une fonction réciproque définie sur Comme appartient à l'intervalle est bien définie au point

On a vu que et que la dérivée de en est non nulle.

Donc est dérivable au point et on a

Comme on a

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Existence et détermination d'une application réciproque

1. (4 pts) L'expression est définie sur l'ensemble des réels tels que c'est-à-dire l'intervalle

La fonction est impaire, son graphe admet l'origine pour centre de symétrie.

La fonction est continue et dérivable sur car la fonction est continue, dérivable et strictement positive sur

Pour tout élément de on peut écrire d'où

La fonction est donc strictement croissante sur

Quand tend vers par valeurs inférieures, tend vers :

La fonction étant impaire, on a

Le graphe de admet donc deux asymptotes, parallèles à l'axe d'équations et

2. (4 pts) La fonction étant continue et strictement croissante sur l'intervalle l'image par de est l'intervalle c'est-à-dire et définit une bijection de sur

étant élément de on a l'équivalence :

Etant donné réel, on cherche élément de tel que

Il s'agit donc de résoudre l'équation

L'équation obtenue en élevant au carré les deux membres : n'est pas équivalente à car on a perdu l'information et sont de même signe".

Donc

La condition permet d'éliminer la solution

L'unique solution est donc :

Vérifions que est bien élément de : pour tout réel donc

D'où :

3. (2 pts) Le graphe de s'obtient à partir de celui de par la symétrie par rapport à la première bissectrice (d'équation

Sur la figure ci-contre, le graphe de est en noir et celui de est en bleu.

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/30
Seuil critique :21
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :35 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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