Fonctions usuelles et leurs réciproques

La restriction de la fonction ch à l'intervalle \([0, +\infty[\)est continue et strictement croissante. Elle établit une bijection de \([0,+\infty[\)sur \([1, +\infty[.\)

Elle admet donc une fonction réciproque appelée argument cosinus hyperbolique et notée Argch, qui est continue et strictement croissante sur \([1, +\infty[.\)

De plus elle est dérivable sur \(]1,+\infty[,\) car sh, la dérivée de ch, ne s'annule pas sur \(]0,+\infty[.\) On a donc :

\(\begin{cases}y = \textrm{Argch}x\\x \in [1,+\infty[\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\textrm{ch}y=x\\y\in[0,+\infty[\end{cases}\)

En appliquant le théorème général des fonctions réciproques :

\(\forall x \in ]1,+\infty[~~\textrm{Argch}'x=\frac{1}{\textrm{ch}'(\textrm{Argch}x)} = \frac{1}{\textrm{sh}(\textrm{Argch}x)}\)

or \(\left.\begin{aligned} \textrm{sh}^2t=\textrm{ch}^2t-1~~~~\\t>0, \textrm{sh}t>0~~~~\end{aligned}\right\} \Rightarrow \textrm{sh}t=\sqrt{\textrm{ch}^2t-1}\)

et \(\textrm{ch}(\textrm{Argch}x) = x,\) d'où \(\textrm{sh}(\textrm{Argch}x) = \sqrt{x^2-1}.\)

\(\forall x \in ]1, +\infty[,~~\textrm{Argch}'x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)

\(\begin{cases}\textrm{ch}y=x\\\textrm{sh}y=\sqrt{x^2-1}\end{cases} \Rightarrow e^y = \textrm{sh}y + \textrm{ch}y=x+\sqrt{x^2-1}\)

d'où \(y =\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)et il vient :

\(\forall x \in [1, +\infty[,~~\textrm{Argch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)

\(\color{cyan}x\mapsto\textrm{Argch}x\)

\(\color{green}x\mapsto\textrm{ch}x\)

\(\color{red}x\mapsto x\)

Par lecture des graphes, on retrouve que le graphe de Argch est le symétrique de celui de la restriction de ch par rapport à la droite d'équation \(y = x.\)

Le graphe de ch ayant une branche parabolique de direction verticale, le graphe de Argch a une branche parabolique de direction horizontale.