Fonctions logarithme népérien, exponentielles, puissances, hyperboliques
Le test comporte 3 questions :
Etude de fonction
Recherche de limites
Résolution d'un système d'équations
La durée indicative du test est de 45 minutes.
Commencer
Etude de fonction

1.

a. Trouver l'ensemble des réels tels que le réel existe.

b. Soit la fonction numérique définie sur par

Montrer que est continue et dérivable sur Calculer sa dérivée.

2.

a. Etudier les limites de aux bornes de

b. Donner le tableau de variations de et construire son graphe.

3.

Discuter, suivant la valeur du réel le nombre de solutions strictement positives

de l'équation :

Recherche de limites

Calculer les limites suivantes :

Résolution d'un système d'équations

Trouver tous les couples de réels solutions du système :

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Etude de fonction

1.a (1pt) Pour pouvoir calculer le nombre le réel doit appartenir au domaine de définition de la fonction et ne pas être nul (existence de d'où

1.b (3pt) Etant un quotient de fonctions continues et dérivables sur est continue et dérivable sur

et

2.a Etude à la borne (1pt)

donc

Etude à la borne (1pt)

D'après un résultat du cours

2.b donc la dérivée de s'annule et change de signe au point on obtient le tableau de variations (2pt) :

Représentation graphique (2pt)

On observe que les droites et sont des asymptotes.

La fonction admet un maximum égal à atteint au point

3. (5pt) car l'exponentielle est bijective. Il est temps de commencer la discussion :

L'équation devient or donc n'a pas de solution.

Pour les autres cas :

D'après l'étude précédente ce qui amène quatre nouveaux cas, en utilisant le graphe et le tableau de variations.

est continue et strictement croissante sur donc établit une bijection entre et ainsi il existe un unique réel vérifiant donc admet une solution.

donc n'a pas de solution.

admet une solution.

est continue et strictement croissante sur donc établit une bijection entre et ainsi il existe un unique réel vérifiant

De même est continue et strictement décroissante sur donc établit une bijection entre et ainsi il existe un unique réel vérifiant Donc admet deux solutions.

Conclusion :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Recherche de limites

(5pt)

donc c'est une forme indéterminée.

Notons alors

Or donc

En utilisant la continuité de la fonction exponentielle on déduit

Conclusion :

(5pt)

donc c'est une forme indéterminée.

Notons

alors or les fonctions et sont dérivables au point

En appliquant la règle du calcul de la limite d'un quotient on obtient

Conclusion :

(5pt)

donc c'est une forme indéterminée.

Notons en utilisant l'expression

on peut transformer

donc

or

d'où

Conclusion :

(5pt)

donc c'est une forme indéterminée.

Notons

alors si

Les fonctions et sont dérivables en

d'où

En utilisant la continuité de la fonction exponentielle on déduit

Conclusion :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Résolution d'un système d'équations

En utilisant les définitions des fonctions ch et sh, on obtient :

Notons on cherche donc deux réels strictement positifs satisfaisant au système :

Les réels sont donc les racines du trinôme

or

Ainsi on obtient deux couples solutions et

On aurait pu résoudre le système en utilisant la méthode de substitution.

Alors et

L'ensemble des solutions du système est

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/50
Seuil critique :35
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :45 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)