Simplifier une expression

Partie

Soit \(f\) la fonction réelle définie sur l'intervalle \(]-\pi,+\pi[\) par \(f(x) = \textrm{Arctan}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.\)

Question

Vérifier, pour tout réel \(a\) différent de \(\frac{\pi}{2}+k\pi,~~k\in\mathbb Z,\) l'égalité : \(\frac{1-\cos(2a)}{1+\cos(2a)}=\tan^2a.\)

Aide simple

\(\cos(2a) = \cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a.\)

Aide méthodologique

Utiliser les formules de trigonométrie exprimant le cosinus d'un arc en fonction du sinus ou du cosinus de l'arc moitié.

Solution détaillée

De l'expression \(\cos(2a) = \cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a,\)

on déduit les expressions : \(1+\cos(2a)=2\cos^2a\) et \(1-\cos(2a)=2\sin^2a,\)

d'où (puisque \(a\) est différent de \(\frac{\pi}{2}+k\pi,~~k\in\mathbb Z)\) : \(\frac{1-\cos(2a)}{1+\cos(2a)}=\tan^2a.\)

Question

En déduire une expression simplifiée de \(f(x).\)

Aide simple

Distinguer les deux cas : \(x\in]-\pi,0[,~~x\in[0,\pi[.\)

Aide méthodologique

Envisager deux cas suivant le signe de \(\tan(\frac{x}{2}).\)

Solution détaillée

Comme \(x\) appartient à l'intervalle \(]-\pi, +\pi[,\) le réel \(\frac{x}{2}\)est bien différent de \(\frac{\pi}{2}+k\pi,~~k\in\mathbb Z,\) donc \(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\tan^2(\frac{x}{2})\) et \(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=|\tan(\frac{x}{2})|\)

Deux cas sont à envisager :

- Si \(x\) appartient à l'intervalle \(]-\pi, 0[,\) alors \(\tan(\frac{x}{2})\)est négatif

et \(|\tan(\frac{x}{2})| = -\tan(\frac{x}{2})=\tan(-\frac{x}{2}),\) donc \(f(x)=\textrm{Arctan}(\tan(-\frac{x}{2})).\)

Le réel \(-\frac{x}{2}\)appartient à l'intervalle \(]0,\frac{\pi}{2}[\);

or pour tout réel \(a\) appartenant à l'intervalle \(]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[,\) on a l'égalité \(\textrm{Arctan}(\tan(a)) = a\); on en déduit :

\(f(x) = -\frac{x}{2}\)

- Si \(x\) appartient à l'intervalle \([0,\pi[,\) \(\tan(\frac{x}{2})\)est positif, donc \(f(x) =\textrm{Arctan}(\tan(\frac{x}{2}))\)et puisque le réel \(\frac{x}{2}\)appartient à l'intervalle \(]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}[,\) on obtient :

\(f(x) = \frac{x}{2}\)

En conclusion : \(\forall x\in]-\pi,+\pi[,~~f(x)=\frac{|x|}{2}.\)