Exercice n°8

Partie

Question

Quels sont les restes possibles de la division d'un entier impair par 4 ?

En déduire que le reste du carré d'un entier impair dans la division par 8 est 1.

Solution détaillée

Les restes d'un entier impair dans la division par 4 sont 1 et 3.

  • Si \(n = 4 k + 1 \quad n ^2 = 16 k ^2 + 8 k + 1 = 8 k (2 k + 1) + 1\)

  • Si \(n = 4 k + 3 \quad n ^2 = 16 k ^2 + 24 k + 9 = 8 (2 k ^2+ 3 k + 1) + 1\)

Dans tous les cas, le reste de \(n ^2\) dans la division par 8 est 1.