Exercice n°2
Partie
Question
Montrer que le cube d'un entier peut toujours s'écrire comme différence de deux carrés.
Rappel de cours
Voir la page Définition et propriétés
Solution détaillée
Soit \(n ^3\) le cube d'un entier.
On cherche deux entiers \(x\) et \(y\) tels que :
\(n ^3 = x ^2 - y ^2 = (x -y) (x + y)\)
\(\begin{array}{cccc}\textrm {Essayons}&x - y&=&n\\&x + y&=&n ^2\end{array}\)
Alors :
\(x = [n (n + 1)] / 2\)
\(y = [n (n - 1)] / 2\)
\(x ^2 - y ^2 = (n ^2 / 4) [(n + 1) ^2 - (n - 1) ^2] = n ^3\)
Il suffit de constater que \(n (n + 1)\) et \(n (n - 1)\) sont toujours pairs comme produit de deux entiers consécutifs, pour affirmer que \(x\) et \(y\) sont deux entiers répondant au problème.