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Théorème de Bézout
Théorème

Soient et deux entiers naturels et leur pgcd alors il existe au moins un couple d'entiers relatifs et tel que

Recherche d'entiers u et v tels que au + bv = d

L'algorithme d'Euclide nous fournit une méthode simple pour trouver deux entiers et apparaissant dans le théorème de Bézout. Illustrons-le tout de suite sur l'exemple précédent.

On a donc trouvé un couple d'entiers tels que :

Bien sûr, il n'y a pas unicité de ce couple car on voit tout de suite que :

(3 + 13083 × 95991 - (22 + 95991 × 13083 = 147, si est un entier quelconque. Nous reviendrons sur cet exemple ultérieurement pour chercher tous les couples répondant au problème.

Remarque : entiers u et v

On sait que le pgcd divise chacun des deux nombres ;

95991 = 147 × 653 et 13083 = 147 × 89.

Remarquons tout de suite que le couple d'entiers (3, -22) vérifie la relation obtenue en simplifiant par 147 la relation précédente :

Ceci nous sera utile plus tard. Nous allons faire une deuxième démonstration du théorème de Bézout, reposant sur des principes très différents, et en donner un énoncé un peu plus complet.

Théorème

Soient deux entiers relatifs et non nuls, et leur pgcd. Alors

  • il existe deux entiers relatifs et tels que pgcd

  • l'ensemble est l'ensemble des multiples de

Représentons pour différentes valeurs de et l'ensemble :

Observez sur les exemples les valeurs du tableau en cherchant quelle est la plus petite valeur positive du tableau et quel est le pgcd de et

Le programme suivant permet de visualiser différentes valeurs de et sont deux entiers, et et sont des entiers compris entre et

Testez les valeurs suivantes puis d'autres de votre choix. Les exemples qui vous sont proposés permettent de faire apparaître le pgcd de et pour une petite valeur de

Attention au temps de calcul, prenez de petites valeurs pour !!!

Détermination de l'ensemble S

Soient deux entiers relatifs et non nuls, Considérons l'ensemble des entiers positifs qui peuvent s'écrire sous la forme

De façon évidente est non vide puisque l'un des nombres au moins est positif. D'après la propriété du bon ordre, cet ensemble possède un plus petit élément Il existe deux entiers relatifs tels que

Montrons que ce nombre est le pgcd des deux nombres et

On va d'abord montrer que et Sinon, on peut écrire la division euclidienne de par avec un reste non nul : avec Comme ce qui montre que appartient à l'ensemble et est plus petit que ce qui est contraire à la définition de On en conclut que divise De la même façon, on montre que divise et donc que est un diviseur commun à et

On va maintenant montrer que est le pgcd de et dans les propriétés sur la divisibilité, on a montré que tout diviseur commun à et divise tous les éléments de et donc en particulier Ceci démontre que est le plus grand diviseur commun de et de

Nature de l'ensemble S

Tous les entiers de la forme sont des multiples du pgcd de et Il est évident que tout multiple de d appartient à

Par ailleurs divisant et il divise tous les entiers de la forme On a donc montré que l'ensemble est constitué des multiples de

Remarque

et ne sont pas uniques. Par exemple, et répondent aussi au problème.

Attention

S'il existe un couple d'entiers et tels que on peut seulement conclure que est un multiple du pgcd de et En général, le théorème de Bézout n'admet pas de réciproque sauf dans le cas particulier des nombres premiers entre eux que nous étudions dans le chapitre suivant.

Légende :
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S'exercer
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