Plus petit commun multiple (ppcm)
Soient deux nombres \(a\) et \(b\) entiers, que nous pouvons supposer positifs. Existe-t-il un plus petit nombre positif \(M\) multiple à la fois de \(a\) et \(b ?\) Nous pouvons être sûrs que la réponse est oui par le raisonnement suivant. On connaît \(ab\) comme multiple commun, donc il y a des multiples communs. Il suffit d'examiner un à un les entiers multiples de \(a\) entre \(a\) et \(ab,\) voir si ils sont multiples de \(b,\) pour trouver le plus petit multiple commun aux deux nombres \(a\) et \(b\) que nous notons \(\textrm {ppcm} (a,b).\)
Définition :
Étant donnés deux entiers \(a\) et \(b\) non nuls, on appelle plus petit commun multiple, et on note \(\textrm {ppcm} (a,b)\) le plus petit entier positif qui est à la fois multiple de \(a\) et de \(b.\)
Détermination du ppcm
Soient \(M\) le ppcm de deux entiers positifs \(a\) et \(b,\) et d leur pgcd,
\(M = \textrm {ppcm} (a,b) \quad \textrm {et} \quad d = \textrm {pgcd} (a,b).\)
Puisque \(d\) est le pgcd de \(a\) et \(b,\) il existe deux entiers \(a'\) et \(b',\) tels que
\(a=da', b=db' \quad \textrm {et} \quad \textrm {pgcd} (a',b') = 1.\)
Le ppcm de \(a\) et \(b\) est donné par la formule :
\(M = \textrm {ppcm} (a,b) = da'b'\)
Démonstration :
Posons \(M1 = da'b'.\) Il est clair que M1 est un multiple commun de \(a\) et de \(b.\) Montrons que c'est le ppcm de \(a\) et \(b\) en montrant qu'il divise tout multiple commun de \(a\) et \(b.\)
Soit \(m\) un multiple commun de \(a\) et de \(b.\)
C'est un multiple de \(a,\) donc il existe un entier \(p\) tel que \(m = ap = da'p.\)
C'est un multiple de \(b,\) donc il existe un entier \(q\) tel que \(m = bq = db'q.\)
Par conséquent \(da'p = db'q\) et donc \(a'p = b'q.\)
Appliquons le théorème de Gauss, sachant que \(a'\) divise \(b'q\) et est premier avec \(b',\) on peut déduire que \(a'\) divise \(q\) et qu'il existe un entier \(r\) tel que \(q = ra'.\)
On a obtenu \(m = db'ra' = (da'b')r\) et donc \(m\) est un multiple de \(M_1,\) ce qui démontre que \(M_1 = da'b'\) est le ppcm de \(a\) et de \(b.\)
On a montré que le ppcm divise tout multiple commun à \(a\) et \(b.\) Réciproquement, si un multiple commun positif de \(a\) et \(b\) divise tout multiple commun de \(a\) et \(b,\) c'est le ppcm de ces deux nombres.
Propriété : Caractéristique du ppcm
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers non nuls, un multiple commun positif de \(a\) et \(b\) est le ppcm de ces deux nombres si et seulement si il divise tout multiple commun de \(a\) et \(b.\)
Relation entre pgcd et ppcm
Soient deux entiers positifs \(a\) et \(b, M = \textrm {ppcm} (a,b) \quad \textrm {et} \quad d = \textrm {pgcd} (a,b).\)
Alors on a la relation : \(ab = Md\)
Démonstration :
Avec les notations précédentes, \(M=da'b'\) est le ppcm de \(a\) et de \(b.\)
Alors \(M = da'b' \quad \textrm {et} \quad dM = d^2 a'b' = (da')(db') = ab,\) ce qui est la relation cherchée.
\(ab = \textrm {pgcd} (a,b) × \textrm {ppcm} (a,b)\)