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Plus petit commun multiple (ppcm)

Soient deux nombres et entiers, que nous pouvons supposer positifs. Existe-t-il un plus petit nombre positif multiple à la fois de et Nous pouvons être sûrs que la réponse est oui par le raisonnement suivant. On connaît comme multiple commun, donc il y a des multiples communs. Il suffit d'examiner un à un les entiers multiples de entre et voir si ils sont multiples de pour trouver le plus petit multiple commun aux deux nombres et que nous notons

Définition

Étant donnés deux entiers et non nuls, on appelle plus petit commun multiple, et on note le plus petit entier positif qui est à la fois multiple de et de

Détermination du ppcm

Soient le ppcm de deux entiers positifs et et d leur pgcd,

Puisque est le pgcd de et il existe deux entiers et tels que

Le ppcm de et est donné par la formule :

Démonstration

Posons Il est clair que M1 est un multiple commun de et de Montrons que c'est le ppcm de et en montrant qu'il divise tout multiple commun de et

Soit un multiple commun de et de

C'est un multiple de donc il existe un entier tel que

C'est un multiple de donc il existe un entier tel que

Par conséquent et donc

Appliquons le théorème de Gauss, sachant que divise et est premier avec on peut déduire que divise et qu'il existe un entier tel que

On a obtenu et donc est un multiple de ce qui démontre que est le ppcm de et de

On a montré que le ppcm divise tout multiple commun à et Réciproquement, si un multiple commun positif de et divise tout multiple commun de et c'est le ppcm de ces deux nombres.

Propriété : Caractéristique du ppcm

Soient et deux entiers non nuls, un multiple commun positif de et est le ppcm de ces deux nombres si et seulement si il divise tout multiple commun de et

Relation entre pgcd et ppcm

Soient deux entiers positifs et

Alors on a la relation :

Démonstration

Avec les notations précédentes, est le ppcm de et de

Alors ce qui est la relation cherchée.

Légende :
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