Exercice n°1
Partie
Question
La résolution de l'équation \(195 x + 135 y = 1\) est-elle possible ?
Si oui, combien a t-elle de solutions avec \(0 \leq x \leq 100\) ?
Solution détaillée
On va résoudre l'équation : 195x + 135y = 1
Calcul du \(\textrm {pgcd} (a,b) :\)
Dans la colonne de gauche du tableau, on décrit l'algorithme d'Euclide.
Dans la colonne de droite, on résoud pas à pas l'équation \(195x + 135y = \textrm {pgcd} (195 , 135).\) On cherche des coefficients \(u\) et \(v\) satisfaisant aux conditions, et on montre comment on peut les calculer.
Algorithme d'Euclide | Résolution de l'équation |
\(195 = 1 . 135 + 60\) | \(60 = 1.a -1.b\) |
\(135 = 2 . 60 + 15\) | \(15 = 135 - 2 . 60\) \(15 = (0.a +1.b) - 2.(1.a -1.b)\) \(15 = -2.a +3.b\) |
\(60 = 4 . 15 + 0\) |
On obtient alors le résultat suivant :
\(\textrm {pgcd} (195, 135) = 15 = -2.a +3.b\)
Condition de possibilité :
Si le \(\textrm {pgcd} (195 , 135\)) ne divise pas le second membre, l'équation est impossible.
Ici \(\textrm {pgcd} (195 , 135) = 15\)
\(\textrm {pgcd} (195 , 135)\) ne divise pas \(1,\) l'équation n'a pas de solution.