Exercice n°3

Partie

Question

La résolution de l'équation \(195 x + 135 y = 15\) est-elle possible ?

Si oui, combien a t-elle de solutions avec \(0 \leq x \leq 100\) ?

Solution détaillée

On va résoudre l'équation : 195x + 135y = 15

Calcul du \(\textrm {pgcd} (a,b) :\)

Dans la colonne de gauche du tableau, on décrit l'algorithme d'Euclide.

Dans la colonne de droite, on résoud pas à pas l'équation \(195x + 135y = \textrm {pgcd} (195 , 135).\) On cherche des coefficients \(u\) et \(v\) satisfaisant aux conditions, et on montre comment on peut les calculer.

Algorithme d'Euclide

Résolution de l'équation

\(195 = 1 . 135 + 60\)

\(60 = 1.a -1.b\)

\(135 = 2 . 60 + 15\)

\(15 = 135 - 2 . 60\)

\(15 = (0.a +1.b) - 2.(1.a -1.b)\)

\(15 = -2.a +3.b\)

\(60 = 4 . 15 + 0\)

On obtient alors le résultat suivant :

\(\textrm {pgcd} (195, 135) = 15 = -2.a +3.b\)

15 est une solution exacte.

Condition de possibilité :

Si le \(\textrm {pgcd} (195 , 135\)) ne divise pas le second membre, l'équation est impossible.

Ici \(\textrm {pgcd} (195 , 135) = 15\)

Comme \(\textrm {pgcd} (195 , 135)\) divise \(15\) l'équation a des solutions.

On simplifie l'équation par \(\textrm {pgcd} (195 , 135)\)

L'équation donnée est équivalente à :

\(13x + 9y = 1\)

Calcul d'une solution particulière de l'équation :

\(13x + 9y = 1\) simplifiée.

On a obtenu une solution vérifiant :

\(13(-2) + 9\times 3 = 1\)

Donc le couple \((-2 , 3)\) est solution de l'équation :

\(13u + 9v = 1\)

Calcul de toutes les solutions :

Comme \((13 , 9)\) sont premiers entre eux, toutes les solutions de \(13u + 9v = 0\) sont données par \((9k , - 13k) \quad k \quad \textrm {Î} \quad \mathbb Z.\)

Conclusion :

Toutes les solutions de l'équation initiale sont :

\((-2 + 9k , 3- 13k)\) avec \(\quad k \quad \textrm {Î} \quad \mathbb Z\)