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Définition et propriétés
Définition

Un nombre premier est un entier positif qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que lui même et 1.

On choisit de considérer que 1 n'est pas un nombre premier. Nous verrons dans la suite une justification de ce choix, en particulier pour avoir l'unicité de la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers.

Propriété

Si est un nombre premier, et un entier, alors divise ou est premier avec

(En effet ou

Propriété

Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux.

Propriété

Si un nombre premier divise un produit de deux nombres, alors il divise l'un de ces deux nombres.

Attention

Ce résultat n'est pas valable pour un entier quelconque.

Propriété

Un nombre premier est premier avec toute puissance d'un autre nombre premier.

(Ceci est un corollaire du théorème de Gauss.)

Crible d'Érathostène

C'est une méthode de détermination des nombres premiers petits. On va l'appliquer pour déterminer les nombres premiers inférieurs à 50. On verra de façon évidente que l'on doit considérer que 1 n'est pas un nombre premier, sinon l'opération s'arrête dès le premier stade. On commence par écrire en tableau les nombres considérés.

On prend le premier nombre supérieur à 1, ici 2, et on efface tous ses multiples.

Le premier nombre non effacé, ici 3 est premier, on efface ses mutiples et on recommence. Finalement, il ne reste dans le tableau que les nombres premiers.

On remarque qu'on arrête l'opération quand on a effacé les multiples de 7. En effet si un nombre inférieur ou égal à 49 se décompose en produit de deux facteurs, l'un des facteurs est inférieur à 7.

Théorème

Tout nombre strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.

Démonstration

--- Ou n'admet pas d'autres diviseurs que lui-même et 1, il est premier et vérifie le théorème.

--- Ou admet des diviseurs distincts de 1 et lui même. Cet ensemble de diviseurs strictement supérieurs à 1 est non vide, il admet un plus petit élément qui est un nombre premier.

Théorème

Il y a une infinité de nombres premiers.

Démonstration

Soit un ensemble fini de nombres premiers, Montrons qu'il existe au moins un autre nombre premier. On considère l'entier

Cet entier possède au moins un diviseur premier qui ne peut être l'un des car n'est divisible par aucun de ces nombres. Ceci montre que l'ensemble des nombres premiers ne peut être fini.

Légende :
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