Définition et propriétés
Définition :
Un nombre premier est un entier positif qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que lui même et 1.
On choisit de considérer que 1 n'est pas un nombre premier. Nous verrons dans la suite une justification de ce choix, en particulier pour avoir l'unicité de la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers.
Propriété :
Si \(p\) est un nombre premier, et \(a\) un entier, alors \(p\) divise \(a\) ou \(p\) est premier avec \(a.\)
(En effet \(\textrm {pgcd} (p,a) = p\) ou \(\textrm {pgcd} (p,a) = 1.)\)
Propriété :
Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux.
Propriété :
Si un nombre premier \(p\) divise un produit de deux nombres, alors il divise l'un de ces deux nombres.
Attention :
Ce résultat n'est pas valable pour un entier quelconque.
Propriété :
Un nombre \(p\) premier est premier avec toute puissance d'un autre nombre premier.
(Ceci est un corollaire du théorème de Gauss.)
Crible d'Érathostène
C'est une méthode de détermination des nombres premiers petits. On va l'appliquer pour déterminer les nombres premiers inférieurs à 50. On verra de façon évidente que l'on doit considérer que 1 n'est pas un nombre premier, sinon l'opération s'arrête dès le premier stade. On commence par écrire en tableau les nombres considérés.
\(\begin{array}{cccccccccc}&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\20&21&22&23&24&25&26&27&28&29\\30&31&32&33&34&35&36&37&38&39\\40&41&42&43&44&45&46&47&48&49 \end {array}\)
On prend le premier nombre supérieur à 1, ici 2, et on efface tous ses multiples.
\(\begin{array}{cccccc}1&2&3&5&7&9\\11&&13&15&17&19\\21&&23&25&27&29\\31&&33&35&37&39\\41&&43&45&47&49 \end {array}\)
Le premier nombre non effacé, ici 3 est premier, on efface ses mutiples et on recommence. Finalement, il ne reste dans le tableau que les nombres premiers.
\(\begin{array}{cccccc}1&2&3&5&7\\11&&13&&17&19\\&&23&&&29\\31&&&&37\\41&&43&&47 \end {array}\)
On remarque qu'on arrête l'opération quand on a effacé les multiples de 7. En effet si un nombre inférieur ou égal à 49 se décompose en produit de deux facteurs, l'un des facteurs est inférieur à 7.
Théorème :
Tout nombre strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.
Démonstration :
--- Ou \(n\) n'admet pas d'autres diviseurs que lui-même et 1, il est premier et vérifie le théorème.
--- Ou \(n\) admet des diviseurs distincts de 1 et lui même. Cet ensemble de diviseurs strictement supérieurs à 1 est non vide, il admet un plus petit élément qui est un nombre premier.
Théorème :
Il y a une infinité de nombres premiers.
Démonstration :
Soit un ensemble fini de nombres premiers, \(p_1, p_2, ..., p_n.\) Montrons qu'il existe au moins un autre nombre premier. On considère l'entier \(a\)
\(a = p_1 p_2 ... p_n +1.\)
Cet entier possède au moins un diviseur premier qui ne peut être l'un des \(p_i ,\) car \(a\) n'est divisible par aucun de ces nombres. Ceci montre que l'ensemble des nombres premiers ne peut être fini.