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Applications de la décomposition
Décomposition d'un diviseur

Si un nombre entier admet comme décomposition en facteurs premiers alors tout diviseur de admet une décomposition en facteurs premiers avec 

Décomposition d'un multiple

Si un nombre entier est un multiple de et si admet comme décomposition en facteurs premiers alors tous les facteurs premiers figurent dans la décomposition en facteurs premiers de avec un exposant au moins égal à celui qu'ils ont dans la décomposition de

Décomposition du pgcd et du ppcm

On considère deux nombres et dont on connaît les décompositions en facteurs premiers. On va déterminer la décomposition du pgcd et celle du ppcm, connaissant les décompositions des deux nombres.

Pour cela, on va modifier l'écriture de la décomposition des deux nombres. En rajoutant formellement éventuellement des exposants nuls, on peut écrire ainsi ces deux décompositions :

et

avec les mêmes facteurs premiers. Si par exemple, un facteur ne figure pas dans la décomposition de mais figure dans celle de on le fait apparaître avec un exposant nul dans la décomposition de

Exemple

et

On écrira : et

Décomposition du pgcd

Tout diviseur commun de et admet une décomposition en facteurs premiers :

,

avec Donc le pgcd a pour décomposition

Décomposition du ppcm

Tout multiple commun de et admet une décomposition en facteurs premiers où figurent tous les facteurs premiers avec un exposant au moins égal à (et peut-être d'autres facteurs.) Donc le ppcm a pour décomposition

Exemple

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