Exercice n°1
Partie
Soit \(b \geq 2\) un entier fixé.
Question
Montrer que pour tout \(N \in \mathbb N^* ,\) il existe un entier \(n \in \mathbb N\) et des entiers \(a_0, a_1, ..., a_n\) appartenant à \(\{0, 1, ..., b - 1\}\) et \(a_n \neq 0\) tels que :
\(N = a_0 + a_1 b + ... +a_n b ^n\) et \(a_n \neq 0\)
Rappel de cours
Voir la page Définition et propriétés
Solution détaillée
Existence et unicité
On peut remarquer que l'on peut écrire la formule sous la forme :
\(N = a_0 + b (a_1 + ... + a_n b ^{n - 1})\) si \(n \geq 1\)
Cette remarque facilite le raisonnement.
Initialisation
Si \(1 \leq N \leq b - 1 ,\) alors \(N = a_0 \quad a_0 \neq 0\)
Question
Démontrer que pour chaque \(N ,\) le système \(\{n, a_0, ..., a_n\}\) est déterminé par la propriété ci-dessus.
On dit que \(a_0, a_1, ..., a_n\) sont les chiffres de l'écriture du nombre \(N\) suivant la base \(b.\)
Rappel de cours
Voir la page Définition et propriétés
Solution détaillée
Propriété d'hérédité
Supposons qu'on ait su écrire tous les entiers strictement inférieurs à \(N\) suivant la base \(b .\)
Alors \(N = Qb + a_0 \quad 0 \leq a_0 < b\)
\(Q\) et \(a_0\) sont déterminés de façon unique.
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe \(a_0, a_1, ..., a_n\) tels que \(Q = a'_0 + a'_1 b + ... + a'_{n - 1} b ^{n - 1}\) avec \(a'_{n - 1} \neq 0 .\) Il suffit de poser \(a_i = a'_ {i - 1}\) pour \(i = 1, ..., n.\)
On montre ainsi l'existence de la décomposition. L'unicité se montre de la même façon.