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Interprétation matricielle d'un système linéaire

Grâce à la définition du produit des matrices qui vient d'être donnée, on va pouvoir donner une interprétation en terme de produit de matrices d'un système linéaire.

Soit le système linéaire à équations et inconnues, les coefficients étant des éléments d'un corps (égal à ou ).

Soit la matrice colonne à lignes

la matrice colonne à lignes

et enfin la matrice des coefficients du système (tels qu'on les lit sur le système), qui est donc une matrice à lignes et colonnes

Alors le produit existe et est une matrice de type et le système équivaut donc à l'égalité matricielle :

soit

Résoudre le système revient donc à résoudre l'équation matricielle dont l'inconnue est une matrice colonne à lignes.

Exemple

Soit le système

Alors si , le

système équivaut à l'équation matricielle

soit

Complément : Conséquences

Cette interprétation permet d'obtenir des propriétés des solutions d'un tel système.

Etude de l'équation matricielle :

Soient et deux solutions de l'équation .

Cela signifie que et que . Les règles de calcul que l'on vient de voir sur les matrices permettent alors d'écrire : . Donc est solution de l'équation . Réciproquement, si est une solution de et si est une solution de alors est solution de l'équation .

On en déduit donc que si l'on connaît une solution particulière de l'équation et toutes les solutions de l'équation , on saura trouver toutes les solutions de l'équation . Cela incite à étudier un peu plus précisément l'équation : .

On a de façon immédiate la propriété suivante.

La somme de deux solutions de l'équation est solution de cette même équation.

Le produit par un scalaire d'une solution de cette équation est encore solution de cette équation.

Retour au système

Si l'on interprète ces résultats pour l'étude du système , on a les propriétés suivantes :

  • La différence de deux -uplets solutions du système est solution du système

    appelé système homogène associé au système .

  • La somme d'une solution de et d'une solution de est encore une solution de .

  • De plus, l'ensemble des solutions de est stable pour l'addition et pour le produit par un scalaire (c'est-à-dire que la somme de deux solutions est solution, de même que le produit d'une solution par un scalaire).

Ces propriétés permettront d'étudier la structure de l'ensemble des solutions du système .

Légende :
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