Interprétation matricielle d'un système linéaire

Grâce à la définition du produit des matrices qui vient d'être donnée, on va pouvoir donner une interprétation en terme de produit de matrices d'un système linéaire.

Soit \((\mathcal S)\) le système linéaire à \(n\) équations et \(p\) inconnues, les coefficients étant des éléments d'un corps \(\mathbf K\) (égal à \(\mathbf R\) ou \(\mathbf C\)).

\(\displaystyle{(\mathcal S)\left\{\begin{array}{ccccccc}a_{1,1}x_1&+&\cdots&+&a_{1,p}x_p&=&b_1\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&=&\vdots\\ a_{i,1}x_1&+&\cdots&+&a_{i,p}x_p&=&b_i\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&=&\vdots\\ a_{n,1}x_1&+&\cdots&+&a_{n,p}x_p&=&b_n\end{array}\right.}\)

Soit \(\mathcal X\) la matrice colonne à\(p\) lignes \(\displaystyle{\mathcal X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\\vdots\\x_p\end{array}\right)}\)

\(\mathcal B\) la matrice colonne à \(n\) lignes \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{array}\right)\)

et enfin \(\mathcal A\) la matrice des coefficients du système (tels qu'on les lit sur le système), qui est donc une matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes

\(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}a_{1,1}&\cdots&\cdots&a_{1,p}\\\vdots&&&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,p}\end{array}\right)\)

Alors le produit \(\mathcal{AX}\) existe et est une matrice de type \((n,1)\) et le système \((\mathcal S)\) équivaut donc à l'égalité matricielle :

\(\left(\begin{array}{cccccc}a_{1,1}&\cdots&\cdots&a_{1,p}\\\vdots&&&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,p}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\\vdots\\x_p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{array}\right)\)

soit \(\mathcal{AX}=\mathcal B\)

Résoudre le système revient donc à résoudre l'équation matricielle \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) dont l'inconnue est une matrice colonne à \(p\) lignes.

Exemple

Soit le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccccccccc}x_1&+&2x_2&-&3x_3&+&x_4&=&0\\&&x_2&+&2x_3&-&x_4&=&1\\x_1&-&3x_2&+&x_3&+&x_4&=&2\end{array}\right.}\)

Alors si\(\displaystyle{\mathcal X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)},\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}0\\1\\2\end{array}\right)\textrm{ et }\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&-3&1\\0&1&2&-1\\1&-3&1&1\end{array}\right)\), le

système équivaut à l'équation matricielle \(\mathcal{AX}=\mathcal B\)

soit \(\left(\begin{array}{cccccc}1&2&-3&1\\0&1&2&-1\\1&-3&1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\1\\2\end{array}\right)\)

ComplémentConséquences

Cette interprétation permet d'obtenir des propriétés des solutions d'un tel système.

Etude de l'équation matricielle :

Soient\( \mathcal X_1\) et \(\mathcal X_2\) deux solutions de l'équation \(\mathcal{AX}=\mathcal B\).

Cela signifie que \(\mathcal{AX}_1=\mathcal B\) et que \(\mathcal{AX}_2=\mathcal B\). Les règles de calcul que l'on vient de voir sur les matrices permettent alors d'écrire :\( \mathcal A(\mathcal X_1-\mathcal X_2)=\mathcal O\). Donc \(\mathcal X_1-\mathcal X_2\) est solution de l'équation \(\mathcal{AX}=0\) . Réciproquement, si \(\mathcal X_1\) est une solution de \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) et \(\mathcal X_0\) si est une solution de \(\mathcal{AX}=0\) alors \(\mathcal X_1+\mathcal X_0\) est solution de l'équation \(\mathcal{AX}=\mathcal B\).

On en déduit donc que si l'on connaît une solution particulière de l'équation \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) et toutes les solutions de l'équation \(\mathcal{AX}=0\), on saura trouver toutes les solutions de l'équation\( \mathcal{AX}=\mathcal B\). Cela incite à étudier un peu plus précisément l'équation : \(\mathcal{AX}=0\).

On a de façon immédiate la propriété suivante.

La somme de deux solutions de l'équation \(\mathcal{AX}=0\) est solution de cette même équation.

Le produit par un scalaire d'une solution de cette équation est encore solution de cette équation.

Retour au système

Si l'on interprète ces résultats pour l'étude du système\( (\mathcal S)\), on a les propriétés suivantes :

  • La différence de deux \(p\)-uplets solutions du système \(\mathcal S\) est solution du système

    \(\displaystyle{(\mathcal S_0)\left\{\begin{array}{ccccccc}a_{1,1}x_1&+&\cdots&+&a_{1,p}x_p&=&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&=&\vdots\\a_{i,1}x_1&+&\cdots&+&a_{i,p}x_p&=&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&=&\vdots\\a_{n,1}x_1&+&\cdots&+&a_{n,p}x_p&=&0\end{array}\right.}\)

    appelé système homogène associé au système \((\mathcal S)\).

  • La somme d'une solution de et d'une solution de \((\mathcal S_0)\) est encore une solution de \((\mathcal S)\).

  • De plus, l'ensemble des solutions de \((\mathcal S_0)\) est stable pour l'addition et pour le produit par un scalaire (c'est-à-dire que la somme de deux solutions est solution, de même que le produit d'une solution par un scalaire).

Ces propriétés permettront d'étudier la structure de l'ensemble des solutions du système \((\mathcal S_0)\).