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Propriétés de l'ensemble des matrices carrées inversibles
Théorème
  1. Soit un scalaire quelconque non nul et une matrice inversible, élément de . Alors la matrice est inversible et .

  2. Soient et deux éléments de , inversibles. Alors la matrice est inversible et .

  3. Soit un élément de , inversible. Alors la matrice est inversible et .

  4. Soit un élément de , inversible. La matrice est inversible et son inverse est égale à .

La preuve de ces formules est très simple : il suffit d'utiliser la définition de l'inverse d'une matrice et le fait que l'inverse est unique.

Remarque

On n'a aucun résultat sur la somme de matrices inversibles.

Pour s'en convaincre on peut considérer les deux exemples suivants :

  1. Soit les deux matrices et . On a déjà vu que est inversible. Comme peut s'écrire , la matrice est aussi inversible d'après la première propriété. Mais n'est pas inversible.

  2. Par contre si l'on considère les matrices et , est inversible pour les mêmes raisons que dans l'exemple , ainsi que la matrice .

" Simplification " par une matrice inversible

Si est une matrice de quelconque, la relation , et sont des éléments de n'entraîne pas forcément l'égalité .

Exemple

Complément :

Soit .

Ces matrices sont non nulles et pourtant et .

On peut donc avoir trois matrices et  , éléments de telles que :

Par contre, si est une matrice inversible de , une telle situation ne peut se produire comme le prouve la proposition suivante :

Proposition : " Simplification " par une matrice inversible

Soient et  deux matrices de et une matrice inversible de .

Alors l'égalité implique l'égalité .

On dit que est un élément régulier de .

Ce résultat est immédiat : si on multiplie à gauche l'égalité par , on obtient l'égalité : .

Soit, en utilisant l'associativité du produit des matrices,

ce qui donne d'après la définition de l'inverse d'où .

Légende :
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S'exercer
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