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Méthode pratique de détermination de l'inverse d'une matrice

La méthode pratique de détermination de l'inverse d'une matrice va s'appuyer sur la propriété suivante :

Lemme

Soient et deux matrices de . Si pour toute matrice appartenant à , alors .

Preuve

Il suffit de remarquer que si où le est à la i-ème ligne, est la matrice colonne formée de la i-ème colonne de . On obtient donc le résultat en appliquant l'hypothèse aux matrices , pour tout compris entre et .

On en déduit un procédé pratique pour déterminer explicitement l'inverse d'une matrice inversible.

En effet on a une méthode algorithmique pour résoudre les systèmes linéaires, la méthode de Gauss.

On résout donc, par ce procédé, un système linéaire avec quelconque appartenant à .

On obtient la solution que l'on peut écrire sous la forme . Alors, comme on sait que le système a une unique solution , le lemme permet d'écrire .

Remarque

Si l'on ne sait pas à l'avance que la matrice est inversible, mais si l'on a prouvé par le procédé précédent que pour toute matrice appartenant à , on peut en déduire en utilisant le lemme que .

Exemple

Soit

On a l'équivalence suivante :

Cette égalité matricielle équivaut au système

Il est déjà sous forme triangulaire ; on a donc , solution que l'on peut écrire sous la forme :

On lit sur ces formules leur écriture matricielle :

Si l'on a un procédé simple pour montrer que la matrice est inversible, ce qui est le cas lorsque que l'on connaît le lien entre matrice et application linéaire, on en déduit directement que l'inverse de est la matrice

Sinon il suffit de vérifier que )

Remarque

Il existe d'autres méthodes permettant de calculer l'inverse d'une matrice, mais celle-ci, simple sur le plan théorique, est aussi une des plus simples du point de vue des calculs. En effet, dans cet exemple, elle ne nécessite que la résolution d'un système de équations à inconnues, alors qu'en utilisant la définition il aurait fallu résoudre un système de équations à inconnues.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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