Système de Cramer
Étude d'un système à \(n\) équations et \(n\) inconnues dont l'écriture matricielle est \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) , avec \(\mathcal A\) inversible
Théorème :
existence et unicité d'une solution d'un système linéaire \(\mathcal{AX}=\mathcal B\), avec \(\mathcal A\in\mathcal M_n(\mathbf K)\), inversible
Soit \(\mathcal A\in\mathcal M_n(\mathbf K)\), inversible, et \(\mathcal B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbf K)\).
Le système linéaire \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) a une solution et une seule, égale à \(\mathcal X=\mathcal A^{-1}\mathcal B\).
Preuve : Preuve immédiate
Si \(\mathcal X\) est une solution du système, on multiplie à gauche l'égalité \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) par \(\mathcal A^{-1}\) et on utilise les propriétés du produit des matrices. Réciproquement on vérifie simplement en utilisant la définition de l'inverse, que \(\mathcal{A^{-1}A}\) est solution du système. On dit qu'un tel système est un système de Cramer.
Remarque :
En utilisant le lien entre matrice et application linéaire, on peut démontrer la réciproque, à savoir : si pour toute matrice \(\mathcal B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbf K)\) le système\( \mathcal{AX}=\mathcal B\) admet une solution et une seule, la matrice A est inversible.