Système de Cramer

Etude d'un système à équations et inconnues dont l'écriture matricielle est , avec inversible

Théorème

existence et unicité d'une solution d'un système linéaire , avec , inversible

Soit , inversible, et .

Le système linéaire a une solution et une seule, égale à .

Preuve : Preuve immédiate

Si est une solution du système, on multiplie à gauche l'égalité par et on utilise les propriétés du produit des matrices. Réciproquement on vérifie simplement en utilisant la définition de l'inverse, que est solution du système. On dit qu'un tel système est un système de Cramer.

Remarque

En utilisant le lien entre matrice et application linéaire, on peut démontrer la réciproque, à savoir : si pour toute matrice le système admet une solution et une seule, la matrice A est inversible.

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